解説

方針・初手

$\angle ABC$ を $\theta$ とおくと，$\angle ACB=n\theta$ であるから，正弦定理により

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta} $$

となる。したがって，示すべき不等式 $c<nb$ は

$$ \sin(n\theta)<n\sin\theta $$

を示せばよいことになる。そこで，まず $\sin(\alpha+\beta)<\sin\alpha+\sin\beta$ という基本的不等式を作り，それを繰り返し用いる。

解法1

$\angle ABC=\theta$ とおくと，$\angle ACB=n\theta$，また三角形の内角の和より

$$ \angle BAC=\pi-(n+1)\theta>0 $$

であるから，

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{n+1} $$

を得る。特に $0<n\theta<\pi$ である。

ここで正弦定理を用いると，

$$ \frac{c}{\sin\angle ACB}=\frac{b}{\sin\angle ABC} $$

より

$$ \frac{c}{\sin(n\theta)}=\frac{b}{\sin\theta} $$

したがって，

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta} $$

となる。よって，あとは

$$ \sin(n\theta)<n\sin\theta $$

を示せば十分である。

そこで，$0<\alpha,\beta$ かつ $\alpha+\beta<\pi$ のとき，

$$ \sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta) $$

を計算する。和積公式を用いると，

$$ \begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta) &=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \\ &=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \\ &=4\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}. \end{aligned} $$

ここで $0<\alpha,\beta$ かつ $\alpha+\beta<\pi$ だから，各正弦はすべて正である。よって

$$ \sin(\alpha+\beta)<\sin\alpha+\sin\beta $$

が成り立つ。

これを $\alpha=k\theta,\ \beta=\theta$ として用いる。ただし $k=1,2,\dots,n-1$ とする。このとき

$$ (k+1)\theta\le n\theta<\pi $$

であるから，

$$ \sin((k+1)\theta)<\sin(k\theta)+\sin\theta $$

が成り立つ。

ここで数学的帰納法により $\sin(k\theta)<k\sin\theta$ を示す。

まず $k=1$ では

$$ \sin\theta<\sin\theta+\cdots $$

ではなく，等号

$$ \sin\theta=1\cdot\sin\theta $$

が成り立つので出発点になる。

次に，$\sin(k\theta)<k\sin\theta$ が成り立つと仮定すると，

$$ \sin((k+1)\theta)<\sin(k\theta)+\sin\theta<(k+1)\sin\theta $$

となる。よって $k=2,3,\dots,n$ について

$$ \sin(k\theta)<k\sin\theta $$

が従う。特に

$$ \sin(n\theta)<n\sin\theta $$

である。

したがって，

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta}<n $$

より

$$ c<nb $$

を得る。

解説

本問の本質は，角の条件 $\angle ACB=n\angle ABC$ をそのまま扱うのではなく，$\angle ABC=\theta$ とおいて正弦定理に持ち込み，辺の不等式を三角関数の不等式に翻訳することである。

その後は $\sin(n\theta)<n\sin\theta$ を示せばよい。これは加法定理そのものではなく，

$$ \sin(\alpha+\beta)<\sin\alpha+\sin\beta $$

を作って繰り返すのが素直である。三角形の条件から $0<n\theta<\pi$ が保証されるため，途中で用いる正弦の符号判定も問題なく進む。

答え

$\angle ABC=\theta$ とおくと，正弦定理より

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta} $$

である。また $0<\theta<\dfrac{\pi}{n+1}$ より $0<n\theta<\pi$ であり，

$$ \sin(n\theta)<n\sin\theta $$

が成り立つから，

$$ \frac{c}{b}<n $$

すなわち

$$ c<nb $$

である。