解説

方針・初手

角の条件が与えられており，辺 $b,c$ の大小関係を示したいので，正弦定理で $\dfrac{c}{b}$ を角で表すのが最も自然である。

$\angle ABC$ を $B$ とおくと，$\angle ACB=3B$ であるから，正弦定理により

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B} $$

となる。あとは三倍角の公式を用いて右辺を評価すればよい。

解法1

$\angle ABC=B$ とおくと，仮定より

$$ \angle ACB=3B $$

である。

三角形の内角の和より

$$ \angle BAC+4B=\pi $$

であるから，

$$ 0<B<\frac{\pi}{4} $$

が成り立つ。特に $B\neq 0$ なので $\sin B>0$ である。

ここで正弦定理を用いると，

$$ \frac{c}{\sin \angle ACB}=\frac{b}{\sin \angle ABC} $$

すなわち

$$ \frac{c}{\sin 3B}=\frac{b}{\sin B} $$

であるから，

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B} $$

を得る。

三倍角の公式

$$ \sin 3B=3\sin B-4\sin^3 B $$

を用いると，

$$ \frac{c}{b} =\frac{3\sin B-4\sin^3 B}{\sin B} =3-4\sin^2 B $$

となる。

しかるに $0<B<\dfrac{\pi}{4}$ より $\sin B>0$ であるから，

$$ 4\sin^2 B>0 $$

したがって

$$ \frac{c}{b}=3-4\sin^2 B<3 $$

である。両辺に $b>0$ を掛ければ，

$$ c<3b $$

が従う。

解説

この問題の本質は，辺の比 $c:b$ を角の情報で表すことである。角の条件 $\angle ACB=3\angle ABC$ が与えられているので，正弦定理で

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B} $$

と直ちに変形できる。

あとは三倍角の公式を使えば

$$ \frac{c}{b}=3-4\sin^2 B $$

となり，$B>0$ である以上，右辺は必ず $3$ より小さい。したがって不等式はほとんど自動的に出る。角が整数倍で与えられたときは，正弦定理と三角関数の倍角・三倍角公式を結び付けるのが典型処理である。

答え

正弦定理より

$$ \frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B}=3-4\sin^2 B<3 $$

であるから，

$$ c<3b $$

である。