解説

方針・初手

3つの数をそのまま比較するより，和積公式を用いて共通の形に直すと大小関係が見やすくなる。

特に

$$ \frac{\sin A+\sin B}{2} $$

は和積公式で簡単になり，

$$ \sin \frac{A+B}{2} $$

との比較がすぐできる。

また

$$ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2} $$

も和積公式でまとめれば，

$$ \sin \frac{A+B}{2} $$

との比較に帰着できる。

解法1

3つの数を

$$ x=\sin \frac{A+B}{2},\qquad y=\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\qquad z=\frac{\sin A+\sin B}{2} $$

とおく。

まず，$z$ を和積公式で変形すると

$$ z=\frac{2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}{2} =\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} $$

となる。

ここで $A\ne B$ より

$$ \frac{A-B}{2}\ne 0 $$

であり，しかも $A,B$ は鋭角だから

$$ -\frac{\pi}{4}<\frac{A-B}{2}<\frac{\pi}{4} $$

である。したがって

$$ 0<\cos \frac{A-B}{2}<1 $$

ではなく，正しくは

$$ 0<\cos \frac{A-B}{2}<1 $$

とは限らず，$A\ne B$ なので

$$ \cos \frac{A-B}{2}<1 $$

が成り立つ。よって

$$ z=\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} <\sin \frac{A+B}{2}=x $$

である。すなわち

$$ z<x $$

である。

次に，$y$ を和積公式で変形すると

$$ y=2\sin \frac{A+B}{4}\cos \frac{A-B}{4} $$

である。一方，

$$ x=\sin \frac{A+B}{2} =2\sin \frac{A+B}{4}\cos \frac{A+B}{4} $$

である。

ここで $A,B$ は鋭角なので

$$ 0<\frac{A+B}{4}<\frac{\pi}{4} $$

であり，また $A,B>0$ より

$$ |A-B|<A+B $$

だから

$$ 0\le \left|\frac{A-B}{4}\right|<\frac{A+B}{4}<\frac{\pi}{4} $$

となる。余弦関数は $[0,\pi]$ で単調減少だから

$$ \cos \frac{A-B}{4} =\cos \left|\frac{A-B}{4}\right|

>

\cos \frac{A+B}{4} $$

が成り立つ。したがって

$$ y=2\sin \frac{A+B}{4}\cos \frac{A-B}{4}

>

2\sin \frac{A+B}{4}\cos \frac{A+B}{4} =x $$

である。すなわち

$$ y>x $$

である。

以上より

$$ y>x>z $$

したがって，3つの数の最大値は

$$ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2} $$

であり，最小値は

$$ \frac{\sin A+\sin B}{2} $$

である。

解説

比較の中心は

$$ \sin \frac{A+B}{2} $$

である。

$$ \frac{\sin A+\sin B}{2} $$

は和積公式で

$$ \sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} $$

となるので，$A\ne B$ から $\cos \frac{A-B}{2}<1$ を使えばすぐに

$$ \frac{\sin A+\sin B}{2}<\sin \frac{A+B}{2} $$

が分かる。

また

$$ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2} $$

も和積公式でまとめると，余弦の角の大小比較に帰着する。$|A-B|<A+B$ を見抜けるかがポイントである。

答え

最大値は

$$ \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2} $$

最小値は

$$ \frac{\sin A+\sin B}{2} $$

である。