解説

方針・初手

各角 $1,2,3,4$ はラジアンとみなし，それぞれが単位円のどの象限にあるかを調べる。

そのうえで，$\sin x$ は

$$ 0<x<\pi \text{ では正},\qquad \pi<x<2\pi \text{ では負} $$

であること，また

$$ 0<x<\frac{\pi}{2} \text{ で増加},\qquad \frac{\pi}{2}<x<\pi \text{ で減少} $$

であることを用いて大小を比較する。

解法1

まず，各数の位置関係を確認する。

$$ 0<1<\frac{\pi}{2}<2<3<\pi<4<\frac{3\pi}{2} $$

したがって，

• $\sin 1,\sin 2,\sin 3$ はいずれも正
• $\sin 4$ は負

である。

よって，負となるものは $\sin 4$ である。

次に，正となる $\sin 1,\sin 2,\sin 3$ の大小を比べる。

$1<\dfrac{\pi}{2}<2$ であり，$\sin x$ は $\dfrac{\pi}{2}$ に近いほど大きいので，

$$ \sin 2>\sin 1 $$

また，$\dfrac{\pi}{2}<2<3<\pi$ で，$\sin x$ は $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ で減少するから，

$$ \sin 2>\sin 3 $$

さらに，数値的にも

$$ \sin 1\approx 0.84,\qquad \sin 3\approx 0.14 $$

より，

$$ \sin 1>\sin 3 $$

である。

したがって，正となるものの最小値は $\sin 3$，最大値は $\sin 2$ である。

解説

この問題は値を直接計算するより，単位円上での位置と $\sin x$ の増減を使うのが本筋である。

特に，

• 符号判定は象限で決まる
• 大小比較は $\sin x$ の増減で決まる

という二段階で処理すると速い。

答え

負となるものは $\sin 4$ である。

正となるものの最小値は $\sin 3$，最大値は $\sin 2$ である。