解説

方針・初手

不等式は $x+y$ だけで決まるので、まず $t=x+y$ とおいて $|2\sin t|\geqq 1$ を $0\leqq t\leqq 2\pi$ の範囲で解く。

その後、得られた $t$ の範囲を $x+y=\text{一定}$ という直線群として、正方形 $0\leqq x\leqq \pi,\ 0\leqq y\leqq \pi$ の中に描けばよい。

解法1

$t=x+y$ とおくと、$0\leqq x\leqq \pi,\ 0\leqq y\leqq \pi$ より

$$ 0\leqq t=x+y\leqq 2\pi $$

である。

与えられた不等式は

$$ |2\sin(x+y)|\geqq 1 $$

すなわち

$$ |\sin t|\geqq \frac12 $$

となる。

ここで $0\leqq t\leqq 2\pi$ において、$\sin t=\pm \frac12$ となるのは

$$ t=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $$

であるから、

$$ |\sin t|\geqq \frac12 $$

を満たすのは

$$ \frac{\pi}{6}\leqq t\leqq \frac{5\pi}{6}, \qquad \frac{7\pi}{6}\leqq t\leqq \frac{11\pi}{6} $$

である。

したがって、求める領域は

$$ \frac{\pi}{6}\leqq x+y\leqq \frac{5\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{7\pi}{6}\leqq x+y\leqq \frac{11\pi}{6} $$

で表される。

これを $0\leqq x\leqq \pi,\ 0\leqq y\leqq \pi$ の正方形内で見ると、境界線は

$$ x+y=\frac{\pi}{6},\quad x+y=\frac{5\pi}{6},\quad x+y=\frac{7\pi}{6},\quad x+y=\frac{11\pi}{6} $$

である。

それぞれの線分は正方形の辺と次の点で交わる。

$$ x+y=\frac{\pi}{6} \ \Rightarrow \left(0,\frac{\pi}{6}\right),\ \left(\frac{\pi}{6},0\right) $$

$$ x+y=\frac{5\pi}{6} \ \Rightarrow \left(0,\frac{5\pi}{6}\right),\ \left(\frac{5\pi}{6},0\right) $$

$$ x+y=\frac{7\pi}{6} \ \Rightarrow \left(\frac{\pi}{6},\pi\right),\ \left(\pi,\frac{\pi}{6}\right) $$

$$ x+y=\frac{11\pi}{6} \ \Rightarrow \left(\frac{5\pi}{6},\pi\right),\ \left(\pi,\frac{5\pi}{6}\right) $$

よって、求める領域は次の 2 つの四角形の内部およびその境界である。

（i） 頂点 $\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$, $\left(0,\frac{5\pi}{6}\right)$, $\left(\frac{5\pi}{6},0\right)$, $\left(\frac{\pi}{6},0\right)$ をもつ四角形

（ii） 頂点 $\left(\frac{\pi}{6},\pi\right)$, $\left(\frac{5\pi}{6},\pi\right)$, $\left(\pi,\frac{5\pi}{6}\right)$, $\left(\pi,\frac{\pi}{6}\right)$ をもつ四角形

解説

この問題の要点は、式が $x$ と $y$ を別々には含まず、$x+y$ のみで決まることである。

したがって、境界は $x+y=\text{一定}$、すなわち傾き $-1$ の直線になる。あとは $|\sin t|\geqq \frac12$ を満たす $t$ の範囲を求め、その範囲に対応する直線にはさまれた部分を正方形内で拾えばよい。

不等号が $\geqq$ であるから、境界線も領域に含まれることに注意する。

答え

求める領域は

$$ \frac{\pi}{6}\leqq x+y\leqq \frac{5\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{7\pi}{6}\leqq x+y\leqq \frac{11\pi}{6} $$

を満たす部分である。

すなわち、正方形

$0\leqq x\leqq \pi,\ 0\leqq y\leqq \pi$

の中で、直線

$$ x+y=\frac{\pi}{6},\quad x+y=\frac{5\pi}{6},\quad x+y=\frac{7\pi}{6},\quad x+y=\frac{11\pi}{6} $$

にはさまれた 2 つの帯状の部分（境界を含む）である。