解説

方針・初手

$\sin \theta,\cos \theta$ を直接求めるのではなく，まず

$$ s=\sin \theta+\cos \theta,\qquad p=\sin \theta \cos \theta $$

とおく。

すると $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$， および $\sin^3\theta+\cos^3\theta$ の式変形を使って， $s,p$ についての方程式に落とせる。最後に $\sin \theta,\cos \theta$ を2次方程式の解として求めればよい。

解法1

$$ \sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta) $$

であるから，

$$ \sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta) $$

となる。

ここで

$$ s=\sin\theta+\cos\theta,\qquad p=\sin\theta\cos\theta $$

とおくと，条件より

$$ s(1-p)=\frac{11}{16} $$

を得る。

一方，

$$ (\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta $$

より，

$$ s^2=1+2p $$

である。したがって

$$ p=\frac{s^2-1}{2} $$

となるので，これを $s(1-p)=\dfrac{11}{16}$ に代入すると，

$$ s\left(1-\frac{s^2-1}{2}\right)=\frac{11}{16} $$

すなわち

$$ s\cdot \frac{3-s^2}{2}=\frac{11}{16} $$

である。両辺を16倍して整理すると，

$$ 8s(3-s^2)=11 $$

よって

$$ 8s^3-24s+11=0 $$

を得る。これを因数分解すると，

$$ 8s^3-24s+11=(2s-1)(4s^2+2s-11) $$

であるから，

$$ s=\frac12,\quad s=\frac{-1\pm 3\sqrt5}{4} $$

となる。

ただし

$$ -\sqrt2\le \sin\theta+\cos\theta\le \sqrt2 $$

であるから， $\dfrac{-1\pm 3\sqrt5}{4}$ は範囲外で不適である。したがって

$$ s=\sin\theta+\cos\theta=\frac12 $$

である。

すると

$$ p=\frac{s^2-1}{2}=\frac{1/4-1}{2}=-\frac38 $$

となる。

ここで $\sin\theta,\cos\theta$ は，和が $\dfrac12$，積が $-\dfrac38$ である2数だから， $t$ をその一方として

$$ t^2-\frac12 t-\frac38=0 $$

を満たす。両辺を8倍して，

$$ 8t^2-4t-3=0 $$

これを解くと，

$$ t=\frac{4\pm \sqrt{16+96}}{16} =\frac{4\pm 4\sqrt7}{16} =\frac{1\pm \sqrt7}{4} $$

となる。

よって

$$ \sin\theta,\cos\theta $$

の値は

$$ \frac{1+\sqrt7}{4},\quad \frac{1-\sqrt7}{4} $$

である。

したがって，

$$ (\sin\theta,\cos\theta)=\left(\frac{1+\sqrt7}{4},\frac{1-\sqrt7}{4}\right) \quad \text{または} \quad \left(\frac{1-\sqrt7}{4},\frac{1+\sqrt7}{4}\right) $$

である。

解説

この問題の要点は，3乗の和をそのまま扱わず，

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$

を使って $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ にまとめることである。

また，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ があるため， 和 $s$ と積 $p$ の間に

$$ s^2=1+2p $$

という関係が生じる。これで未知数を1つにできるのが典型処理である。

最後は「和と積が分かっている2数」を2次方程式の解として復元する。ここまで整理できれば計算は素直である。

答え

$$ (\sin\theta,\cos\theta)=\left(\frac{1+\sqrt7}{4},\frac{1-\sqrt7}{4}\right) \quad \text{または} \quad \left(\frac{1-\sqrt7}{4},\frac{1+\sqrt7}{4}\right) $$

すなわち，

$$ \sin\theta,\cos\theta \text{ の値は } \frac{1+\sqrt7}{4},\ \frac{1-\sqrt7}{4} $$

である。