解説

方針・初手

（1） は $\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ を具体的に代入して角の位置関係を見るのが最も速い。

（2） は （1） の等式 $\cos 4\alpha=\cos 3\alpha$ に三角関数の多倍角公式を代入し，$\cos\alpha$ の満たす方程式を作る。

（3） は （2） で得た整係数多項式に対して有理根の候補を調べればよい。

解法1

**(1)**

$\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ であるから，

$$ 4\alpha=\frac{8\pi}{7}=\pi+\frac{\pi}{7},\qquad 3\alpha=\frac{6\pi}{7}=\pi-\frac{\pi}{7} $$

である。したがって，

$$ \cos 4\alpha=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\cos\frac{\pi}{7} $$

$$ \cos 3\alpha=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=-\cos\frac{\pi}{7} $$

より，

$$ \cos 4\alpha=\cos 3\alpha $$

が成り立つ。

**(2)**

$c=\cos\alpha$ とおく。

（1） より $\cos 4\alpha=\cos 3\alpha$ であるから，多倍角公式を用いて

$$ 8c^4-8c^2+1=4c^3-3c $$

を得る。これを整理すると，

$$ 8c^4-4c^3-8c^2+3c+1=0 $$

となる。左辺を因数分解すると，

$$ 8c^4-4c^3-8c^2+3c+1=(c-1)(8c^3+4c^2-4c-1) $$

である。よって，

$$ (c-1)(8c^3+4c^2-4c-1)=0 $$

となる。

ここで $\alpha=\dfrac{2\pi}{7}\neq 0$ であるから $\cos\alpha\neq 1$、すなわち $c\neq 1$ である。したがって，

$$ 8c^3+4c^2-4c-1=0 $$

となる。すなわち，

$$ f(\cos\alpha)=0 $$

である。

**(3)**

（2） より $\cos\alpha$ は方程式

$$ 8x^3+4x^2-4x-1=0 $$

の解である。

ここで $\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ は $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ を満たすので，

$$ 0<\cos\alpha<1 $$

である。

いま $\cos\alpha$ が有理数であると仮定する。すると，有理根定理より，方程式

$$ 8x^3+4x^2-4x-1=0 $$

の有理根の候補は

$$ \pm 1,\ \pm\frac12,\ \pm\frac14,\ \pm\frac18 $$

に限られる。さらに $0<\cos\alpha<1$ であるから，候補は

$$ \frac12,\ \frac14,\ \frac18 $$

だけである。

実際に代入すると，

$$ f\left(\frac12\right)=8\cdot\frac18+4\cdot\frac14-4\cdot\frac12-1=-1\neq 0 $$

$$ f\left(\frac14\right)=8\cdot\frac1{64}+4\cdot\frac1{16}-4\cdot\frac14-1=-\frac{13}{8}\neq 0 $$

$$ f\left(\frac18\right)=8\cdot\frac1{512}+4\cdot\frac1{64}-4\cdot\frac18-1=-\frac{91}{64}\neq 0 $$

となり，いずれも解ではない。これは矛盾である。

よって，

$$ \cos\alpha $$

は無理数である。

解説

この問題の核は，$\alpha=\dfrac{2\pi}{7}$ という特殊な角に対して $\cos 4\alpha=\cos 3\alpha$ が成り立つことを見抜く点にある。

そこから多倍角公式を使えば $\cos\alpha$ が満たす整係数方程式を得られる。さらに，その方程式に有理根が存在しないことを確かめれば，$\cos\alpha$ が無理数であることが従う。三角関数の値の無理性を，多項式と有理根定理で処理する典型的な流れである。

答え

**(1)**

$$ \cos 4\alpha=\cos 3\alpha $$

**(2)**

$$ f(\cos\alpha)=0 $$

すなわち

$$ 8\cos^3\alpha+4\cos^2\alpha-4\cos\alpha-1=0 $$

である。

**(3)**

$$ \cos\alpha $$

は無理数である。