解説

方針・初手

（1） は $\sin x=\cos(90^\circ-x)$ を使えば直ちに示せる。

（2） は加法定理 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ を用いて $\cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)$ を展開する。

（3） は正二十角形を中心で $20$ 個の二等辺三角形に分けて面積を求める。その際，必要となる $\sin36^\circ$ は （1）, （2） を用いて求める。

解法1

**(1)**

$\theta=18^\circ$ のとき，

$$ \sin2\theta=\sin36^\circ $$

であり，

$$ \cos3\theta=\cos54^\circ $$

である。ここで

$$ \sin36^\circ=\cos(90^\circ-36^\circ)=\cos54^\circ $$

より，

$$ \sin2\theta=\cos3\theta $$

が成り立つ。

**(2)**

加法定理より，

$$ \cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha $$

である。さらに

$$ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,\qquad \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} \cos3\alpha &=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)\cos\alpha-(2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha \\ &=\cos^3\alpha-\sin^2\alpha\cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha \\ &=\cos^3\alpha-3\sin^2\alpha\cos\alpha. \end{aligned} $$

ここで $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ を代入すると，

$$ \begin{aligned} \cos3\alpha &=\cos^3\alpha-3(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha \\ &=\cos^3\alpha-3\cos\alpha+3\cos^3\alpha \\ &=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha. \end{aligned} $$

したがって，

$$ \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha $$

が成り立つ。

**(3)**

半径 $1$ の円に内接する正二十角形の中心角は

$$ \frac{360^\circ}{20}=18^\circ $$

である。正二十角形を中心で $20$ 個の合同な二等辺三角形に分けると，各三角形の面積は

$$ \frac12\cdot 1\cdot 1\cdot \sin18^\circ=\frac12\sin18^\circ $$

だから，正二十角形の面積 $S$ は

$$ S=20\cdot \frac12\sin18^\circ=10\sin18^\circ $$

となる。

したがって，$\sin18^\circ$ を求めればよい。

（1） より $\sin36^\circ=\cos54^\circ$ であり，（2） に $\alpha=18^\circ$ を代入すると

$$ \cos54^\circ=4\cos^3 18^\circ-3\cos18^\circ $$

である。一方，

$$ \sin36^\circ=2\sin18^\circ\cos18^\circ $$

であるから，

$$ 2\sin18^\circ\cos18^\circ=4\cos^3 18^\circ-3\cos18^\circ. $$

$\cos18^\circ\neq 0$ なので両辺を $\cos18^\circ$ で割ると，

$$ 2\sin18^\circ=4\cos^2 18^\circ-3. $$

ここで $\cos^2 18^\circ=1-\sin^2 18^\circ$ を用い，$x=\sin18^\circ$ とおくと，

$$ 2x=4(1-x^2)-3=1-4x^2 $$

すなわち

$$ 4x^2+2x-1=0 $$

を得る。これを解くと，

$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}. $$

$18^\circ$ は鋭角なので $\sin18^\circ>0$ より，

$$ \sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}. $$

したがって，

$$ S=10\sin18^\circ=10\cdot \frac{\sqrt5-1}{4} =\frac{5(\sqrt5-1)}{2}. $$

よって，求める面積は

$$ \frac{5(\sqrt5-1)}{2} $$

である。

解説

（1） は余角の関係そのものである。

（2） は三倍角公式の導出であり，加法定理から機械的に出せる形である。$\cos3\alpha$ を $\cos\alpha$ だけの式に直すときに，最後に $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ を使うのが要点である。

（3） では，正多角形の面積を「中心から分けた合同三角形の面積の和」として見るのが基本である。この問題は （1）, （2） を利用して $\sin18^\circ$ を求める流れになっている。

答え

**(1)**

$\theta=18^\circ$ のとき，

$$ \sin2\theta=\sin36^\circ=\cos54^\circ=\cos3\theta $$

である。

**(2)**

$$ \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha $$

が成り立つ。

**(3)**

半径 $1$ の円に内接する正二十角形の面積は

$$ \frac{5(\sqrt5-1)}{2} $$

である。