解説

方針・初手

点の座標をそのまま書き下し，まず直線 $PQ,\ PR$ の傾きを求める。すると $m_1,\ m_2$ はともに $p$ の一次式になるので，$m_1m_2$ は二次式，また角 $\theta$ については2直線のなす角の公式

$$ \tan\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} $$

を使えば処理できる。

解法1

放物線 $y=x^2$ 上で

$$ P=(p,\ p^2),\quad Q=(p+1,\ (p+1)^2),\quad R=(p+2,\ (p+2)^2) $$

である。

**(1)**

$m_1,\ m_2$ を求める。

直線 $PQ$ の傾きは

$$ m_1=\frac{(p+1)^2-p^2}{(p+1)-p} =\frac{2p+1}{1} =2p+1 $$

である。

直線 $PR$ の傾きは

$$ m_2=\frac{(p+2)^2-p^2}{(p+2)-p} =\frac{4p+4}{2} =2p+2 $$

である。

したがって，

$$ m_1=2p+1,\quad m_2=2p+2 $$

となる。

**(2)**

$m_1m_2$ の最小値を求める。

（1） より

$$ m_1m_2=(2p+1)(2p+2)=4p^2+6p+2 $$

である。これを平方完成すると

$$ 4p^2+6p+2 =4\left(p+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{4} $$

となる。

$4\left(p+\dfrac{3}{4}\right)^2\geqq 0$ であるから，

$$ m_1m_2\geqq -\frac{1}{4} $$

であり，等号は

$$ p=-\frac{3}{4} $$

のときに成り立つ。

よって，$m_1m_2$ の最小値は

$$ -\frac{1}{4} $$

である。

**(3)**

$\tan\theta$ を $p$ で表す。

2直線のなす角の公式より，

$$ \tan\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} $$

である。

ここで

$$ m_2-m_1=(2p+2)-(2p+1)=1 $$

また，

$$ 1+m_1m_2 =1+(2p+1)(2p+2) =1+(4p^2+6p+2) =4p^2+6p+3 $$

である。

したがって，

$$ \tan\theta=\frac{1}{4p^2+6p+3} $$

となる。

なお，

$$ 4p^2+6p+3 =4\left(p+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{3}{4}>0 $$

であるから，この式は常に意味をもつ。

**(4)**

$\theta$ が最大になる $p$ を求める。

（3） より

$$ \tan\theta=\frac{1}{4p^2+6p+3} $$

である。ここで

$$ 4p^2+6p+3 =4\left(p+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{3}{4} $$

だから，分母は $p=-\dfrac{3}{4}$ のとき最小となる。

また $4p^2+6p+3>0$ より $\tan\theta>0$ であり，$\theta$ は鋭角である。したがって $\theta$ を最大にするには $\tan\theta$ を最大にすればよい。

よって，$\theta$ が最大になるのは

$$ p=-\frac{3}{4} $$

のときである。

解説

放物線 $y=x^2$ 上の2点を結ぶ直線の傾きは，差商として自然に計算できる。本問では $x$ 座標が $1,\ 2$ だけずれているので，$m_1,\ m_2$ が非常に簡単な一次式になる。

そのあと，

$$ m_1m_2 $$

や

$$ \tan\theta=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} $$

を用いて，結局は二次式の最小値の問題に帰着するのが本質である。最大・最小を問われたら，まず平方完成するのが基本である。

答え

$$ \text{(1)}\quad m_1=2p+1,\quad m_2=2p+2 $$

$$ \text{(2)}\quad m_1m_2\text{ の最小値は }-\frac{1}{4} $$

$$ \text{(3)}\quad \tan\theta=\frac{1}{4p^2+6p+3} $$

$$ \text{(4)}\quad \theta\text{ が最大になるのは }p=-\frac{3}{4} $$