解説

方針・初手

まず、内接円の半径 $r$ と外接円の半径 $R$ を結ぶ基本公式

$$ r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} $$

を、この問題の記号では

$$ h=\frac{r}{R}=4\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma $$

と書けることを示す。

そのうえで、$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ を用いて、直角三角形の場合と一般の場合のそれぞれで $\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ の最大値を調べればよい。

解法1

（1） まず $h=4\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ を示す。

三角形 $ABC$ の面積を $S$、半周長を $s$ とすると、

$$ S=rs,\qquad S=\frac{abc}{4R} $$

が成り立つ。ただし $a,b,c$ はそれぞれ $\angle A,\angle B,\angle C$ の対辺である。

正弦定理より

$$ a=2R\sin A=2R\sin 2\alpha,\quad b=2R\sin 2\beta,\quad c=2R\sin 2\gamma $$

であるから、

$$ S=\frac{abc}{4R} =\frac{(2R\sin 2\alpha)(2R\sin 2\beta)(2R\sin 2\gamma)}{4R} =2R^2\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma. $$

ここで $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を用いると、

$$ S =16R^2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma. $$

一方、

$$ s=\frac{a+b+c}{2} =R(\sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma) $$

であり、$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ だから

$$ \sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2\gamma =4\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma $$

が成り立つ。よって

$$ s=4R\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma. $$

したがって

$$ S=rs=4rR\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma. $$

これを先ほどの $S$ の式と比較して、

$$ \begin{aligned} 4rR\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma &= 16R^2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma \end{aligned} $$

より

$$ r=4R\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma. $$

したがって

$$ h=\frac{r}{R}=4\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma $$

である。

（2） 三角形 $ABC$ が直角三角形のとき $h\leqq \sqrt{2}-1$ を示す。

直角はどの頂点にあっても同様なので、$\angle C=\dfrac{\pi}{2}$ としてよい。このとき

$$ 2\gamma=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{\pi}{4}, \qquad \alpha+\beta=\frac{\pi}{4} $$

である。

（1） より

$$ h=4\sin\alpha \sin\beta \sin\frac{\pi}{4} =2\sqrt{2}\sin\alpha \sin\beta. $$

ここで積和公式を用いると、

$$ 2\sin\alpha \sin\beta =\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) =\cos(\alpha-\beta)-\cos\frac{\pi}{4}. $$

よって

$$ h =\sqrt{2}\cos(\alpha-\beta)-1. $$

$\cos(\alpha-\beta)\leqq 1$ であるから、

$$ h\leqq \sqrt{2}-1. $$

等号が成り立つのは

$$ \cos(\alpha-\beta)=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta $$

のとき、すなわち

$$ \alpha=\beta=\frac{\pi}{8} $$

のときである。これは

$$ A=B=\frac{\pi}{4},\quad C=\frac{\pi}{2} $$

であることを意味する。したがって等号成立は、直角二等辺三角形の場合である。

（3） 一般の三角形 $ABC$ に対して $h\leqq \dfrac{1}{2}$ を示す。

（1） より

$$ h=4\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma $$

であり、また

$$ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}-\gamma $$

である。

和が一定のとき $\sin\alpha \sin\beta$ は $\alpha=\beta$ のとき最大となるから、

$$ \begin{aligned} \sin\alpha \sin\beta \leqq \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} &= \sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right). \end{aligned} $$

したがって

$$ h \leqq 4\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right)\sin\gamma. $$

ここで

$$ \begin{aligned} \sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\gamma}{2}\right) &= \frac{1-\sin\gamma}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} h &\leqq 4\cdot \frac{1-\sin\gamma}{2}\cdot \sin\gamma &= 2\sin\gamma(1-\sin\gamma). \end{aligned} $$

$0<\sin\gamma<1$ に対し、二次関数 $2x(1-x)$ の最大値は $x=\dfrac{1}{2}$ のとき $\dfrac{1}{2}$ であるから、

$$ h\leqq \frac{1}{2} $$

が成り立つ。

等号が成り立つには、上の不等式がすべて等号でなければならない。まず

$$ \sin\alpha \sin\beta \leqq \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} $$

で等号成立するためには

$$ \alpha=\beta $$

でなければならない。また

$$ 2\sin\gamma(1-\sin\gamma)\leqq \frac{1}{2} $$

で等号成立するためには

$$ \sin\gamma=\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{\pi}{6} $$

である。

すると

$$ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3} $$

かつ $\alpha=\beta$ より

$$ \alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{6}. $$

したがって

$$ A=B=C=\frac{\pi}{3} $$

であり、三角形 $ABC$ は正三角形である。

解説

この問題の中心は、まず

$$ \frac{r}{R}=4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$

を作ることである。これが出れば、あとは $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ のもとで積 $\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ の最大値を調べる問題に帰着する。

（2） では直角条件から $\gamma=\dfrac{\pi}{4}$ が固定され、$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ のもとで処理する。積和公式を使うとすぐに最大値が読める。

（3） では $\gamma$ を一つ固定し、まず $\sin\alpha \sin\beta$ を $\alpha=\beta$ のとき最大と見るのが自然である。そのあと一変数の二次式に落とせば、等号条件まで無理なく追える。

答え

**(1)**

$$ h=\frac{r}{R}=4\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma $$

である。

**(2)**

三角形 $ABC$ が直角三角形のとき

$$ h\leqq \sqrt{2}-1 $$

が成り立つ。等号が成り立つのは、$ABC$ が直角二等辺三角形のときである。

**(3)**

一般の三角形 $ABC$ に対して

$$ h\leqq \frac{1}{2} $$

が成り立つ。等号が成り立つのは、$ABC$ が正三角形のときである。