基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数」の問題106 解説
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解説
方針・初手
$S$ は
$$ S=\sum_{j=-n}^{n} z^{2j} $$
と書ける対称な和である。したがって （1） では $z^{-1}S$ と $zS$ を引けば中間項が消える。
また （2）, （3） では $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおき，ド・モアブルの定理
$$ z^k=\cos k\theta+i\sin k\theta,\qquad z^{-k}=\cos k\theta-i\sin k\theta $$
を用いるのが基本方針である。
解法1
**(1)**
$S$ の各項に $z^{-1}$ を掛けると
$$ z^{-1}S=z^{-2n-1}+z^{-2n+1}+z^{-2n+3}+\cdots+z^{2n-1} $$
であり，各項に $z$ を掛けると
$$ zS=z^{-2n+1}+z^{-2n+3}+\cdots+z^{2n-1}+z^{2n+1} $$
である。
よって両者を引くと中間項がすべて消えて，
$$ z^{-1}S-zS=z^{-2n-1}-z^{2n+1} $$
となる。
**(2)**
$z=\cos\theta+i\sin\theta$ より，
$$ z^k=\cos k\theta+i\sin k\theta,\qquad z^{-k}=\cos k\theta-i\sin k\theta $$
である。
したがって，
$$ z^{-k}+z^k=(\cos k\theta-i\sin k\theta)+(\cos k\theta+i\sin k\theta)=2\cos k\theta $$
となるから，その実部は
$$ 2\cos k\theta $$
である。
また，
$$ z^{-k}-z^k=(\cos k\theta-i\sin k\theta)-(\cos k\theta+i\sin k\theta)=-2i\sin k\theta $$
となるから，その虚部は
$$ -2\sin k\theta $$
である。
**(3)**
$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく。
まず，$S$ の定義と （2） より，
$$ S=1+\sum_{k=1}^{n}(z^{-2k}+z^{2k}) =1+2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta $$
である。
一方，（1） より
$$ (z^{-1}-z)S=z^{-2n-1}-z^{2n+1} $$
である。
ここで
$$ z^{-1}-z=(\cos\theta-i\sin\theta)-(\cos\theta+i\sin\theta)=-2i\sin\theta $$
であり，また
$$ z^{-2n-1}-z^{2n+1} =(\cos(2n+1)\theta-i\sin(2n+1)\theta)-(\cos(2n+1)\theta+i\sin(2n+1)\theta) =-2i\sin(2n+1)\theta $$
であるから，
$$ (-2i\sin\theta)S=-2i\sin(2n+1)\theta $$
を得る。
$\sin\theta\neq 0$ なので両辺を $-2i\sin\theta$ で割ると，
$$ S=\frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta} $$
となる。
したがって先ほどの
$$ S=1+2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta $$
と合わせて，
$$ 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta=\frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta} $$
が示された。
解説
この問題の本質は，対称な指数をもつ和を複素数でまとめて扱うことにある。
（1） は等比数列の和を直接求めるよりも，$z^{-1}S$ と $zS$ を引いて消去するのが最短である。これは両端の項だけが残る典型的な処理である。
（2） では $z=\cos\theta+i\sin\theta$ を極形式とみなし，$z^k,\ z^{-k}$ を三角関数に直すだけで実部・虚部が直ちに読める。
（3） では $S$ を一方で $1+2\sum\cos 2k\theta$ と表し，他方で （1） の結果を用いて $\dfrac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}$ と表す。この二つを結びつけるのが要点である。
答え
**(1)**
$$ z^{-1}S-zS=z^{-2n-1}-z^{2n+1} $$
**(2)**
$z=\cos\theta+i\sin\theta$ のとき，
$$ z^{-k}+z^k=2\cos k\theta $$
より，$z^{-k}+z^k$ の実部は
$$ 2\cos k\theta $$
である。
また，
$$ z^{-k}-z^k=-2i\sin k\theta $$
より，$z^{-k}-z^k$ の虚部は
$$ -2\sin k\theta $$
である。
**(3)**
$$ 1+2\sum_{k=1}^{n}\cos 2k\theta=\frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta} $$
が成り立つ。