解説

方針・初手

$a_n=\cos(2^{n-1}\theta)$ であるから，$a_{n+1}$ は $a_n$ に対して余弦の2倍角の公式

$$ \cos 2x=2\cos^2 x-1 $$

を使えば表せる。これで漸化式を作り，（2） はその不動点を調べる。（3），（4） は $\cos x=1,\ 0$ となる角を数え上げればよい。

解法1

**(1)**

$a_1=\cos\theta$ であるから，

$$ a_2=\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1=2a_1^2-1 $$

である。

同様に，任意の $n\geqq 1$ について

$$ a_{n+1}=\cos(2^n\theta)=2\cos^2(2^{n-1}\theta)-1=2a_n^2-1 $$

である。

したがって，

$$ \boxed{a_2=2a_1^2-1},\qquad \boxed{a_{n+1}=2a_n^2-1} $$

となる。

**(2)**

まず，$1$ 以上のすべての整数 $n$ に対して $a_n$ が同じ値をとるとする。その共通の値を $x$ とおくと，

$$ x=2x^2-1 $$

より，

$$ 2x^2-x-1=0 $$

すなわち

$$ (2x+1)(x-1)=0 $$

であるから，

$$ x=1,\ -\frac12 $$

となる。よって

$$ \boxed{a_1=1,\ -\frac12} $$

である。

次に，$a_1\ne a_2$ であり，$2$ 以上のすべての整数 $n$ に対して $a_n$ が同じ値をとるとする。その共通の値を $y$ とおくと，同様に

$$ y=2y^2-1 $$

より

$$ y=1,\ -\frac12 $$

である。

**(i)**

$y=1$ のとき

$$ a_2=1=2a_1^2-1 $$

より

$$ a_1^2=1 $$

したがって $a_1=\pm 1$ である。ここで $a_1\ne a_2=1$ なので，

$$ a_1=-1 $$

となる。よって

$$ (a_1,a_2)=(-1,1) $$

である。

**(ii)**

$y=-\dfrac12$ のとき

$$ a_2=-\frac12=2a_1^2-1 $$

より

$$ a_1^2=\frac14 $$

したがって $a_1=\pm \dfrac12$ である。ここで $a_1\ne a_2=-\dfrac12$ なので，

$$ a_1=\frac12 $$

となる。よって

$$ (a_1,a_2)=\left(\frac12,-\frac12\right) $$

である。

以上より，

$$ \boxed{(a_1,a_2)=(-1,1),\ \left(\frac12,-\frac12\right)} $$

となる。

**(3)**

$a_4=1$ であることは

$$ \cos(2^3\theta)=\cos 8\theta=1 $$

と同値である。したがって

$$ 8\theta=2m\pi \quad (m\in\mathbb{Z}) $$

より，

$$ \theta=\frac{m\pi}{4} $$

となる。$0\leqq\theta\leqq\pi$ より

$$ 0\leqq \frac{m\pi}{4}\leqq \pi $$

すなわち

$$ 0\leqq m\leqq 4 $$

であるから，$m=0,1,2,3,4$ の5個である。

よって個数は

$$ \boxed{5} $$

である。

**(4)**

まず $a_k=1$ のとき，

$$ \cos(2^{k-1}\theta)=1 $$

より

$$ 2^{k-1}\theta=2m\pi \quad (m\in\mathbb{Z}) $$

したがって

$$ \theta=\frac{m\pi}{2^{k-2}} $$

である。$0\leqq\theta\leqq\pi$ より

$$ 0\leqq m\leqq 2^{k-2} $$

となるので，その個数は

$$ 2^{k-2}+1 $$

である。

次に $a_k=0$ のとき，

$$ \cos(2^{k-1}\theta)=0 $$

より

$$ 2^{k-1}\theta=\frac{(2m+1)\pi}{2}\quad (m\in\mathbb{Z}) $$

したがって

$$ \theta=\frac{(2m+1)\pi}{2^k} $$

である。$0\leqq\theta\leqq\pi$ より，$2m+1$ は $1,3,5,\dots,2^k-1$ をとる。これは奇数が全部で

$$ 2^{k-1} $$

個あることを意味する。

よって，

$$ \boxed{a_k=1 \text{ となる }\theta\text{ の個数 }=2^{k-2}+1} $$

$$ \boxed{a_k=0 \text{ となる }\theta\text{ の個数 }=2^{k-1}} $$

である。

解説

この問題の中心は，数列 ${a_n}$ をそのまま追うのではなく，

$$ a_{n+1}=2a_n^2-1 $$

という漸化式に落とすことである。（2） では「ずっと同じ値をとる」という条件が，不動点方程式

$$ x=2x^2-1 $$

に直結する。（3），（4） は三角関数の値を満たす角を一般形で表し，区間 $[0,\pi]$ に入るものの個数を数えるだけである。

答え

**(1)**

$$ \text{ア}=2a_1^2-1,\qquad \text{イ}=2a_n^2-1 $$

**(2)**

$$ \text{ウ}=1,\ -\frac12 $$

$$ \text{エ}=(-1,1),\ \left(\frac12,-\frac12\right) $$

**(3)**

$$ \text{オ}=5 $$

**(4)**

$$ \text{カ}=2^{k-2}+1 $$

$$ \text{キ}=2^{k-1} $$