解説

方針・初手

$\sin 2\theta$ と $\cos 3\theta$ をそれぞれ変形し、$\cos\theta$ を因数にもつ形にする。

このとき、いきなり $\cos\theta$ で割ると $\cos\theta=0$ の場合を落とすので、まず $\cos\theta=0$ と $\cos\theta\neq 0$ に場合分けするのが安全である。

解法1

加法定理・三倍角の公式より、

$$ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\qquad \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$

である。

したがって、与えられた式 $\sin 2\theta=\cos 3\theta$ は

$$ 2\sin\theta\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$

となる。これを整理すると、

$$ \cos\theta,(2\sin\theta-4\cos^2\theta+3)=0 $$

を得る。

**(i)**

$\cos\theta=0$ のとき

$0<\theta<\pi$ より、

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

である。よって

$$ \sin\theta=1 $$

である。

**(ii)**

$\cos\theta\neq 0$ のとき

このときは

$$ 2\sin\theta=4\cos^2\theta-3 $$

となる。ここで $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を用いると、

$$ 2\sin\theta=4(1-\sin^2\theta)-3=1-4\sin^2\theta $$

したがって

$$ 4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 $$

となる。$s=\sin\theta$ とおくと、

$$ 4s^2+2s-1=0 $$

であるから、

$$ s=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} $$

を得る。

ただし $0<\theta<\pi$ では $\sin\theta>0$ であるから、負の値は不適であり、

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

となる。

以上より、求める $\sin\theta$ の値は

$$ 1,\qquad \frac{\sqrt{5}-1}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\cos\theta$ で割りたくなる形であっても、先に $\cos\theta=0$ を確認することである。

実際、$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ は条件を満たすが、最初から $\cos\theta$ で割るとこの解を失ってしまう。三角方程式では、割る操作による解の脱落に注意する必要がある。

答え

$$ \sin\theta=1,\qquad \frac{\sqrt{5}-1}{4} $$