解説

方針・初手

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ を用いると，与式はうまく因数分解できる。 まず不等式の左辺を積の形に直し，それぞれの因子の符号を $0\le x<2\pi$ で調べる。

解法1

与えられた不等式は

$$ \sqrt{2}\sin x+2\cos x+\sqrt{2}\sin 2x+1\leqq 0 $$

である。

ここで

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x $$

より，左辺は

$$ \begin{aligned} \sqrt{2}\sin x+2\cos x+\sqrt{2}\sin 2x+1 &=\sqrt{2}\sin x+2\cos x+2\sqrt{2}\sin x\cos x+1\\ &=\sqrt{2}\sin x(1+2\cos x)+(1+2\cos x)\\ &=(1+2\cos x)(\sqrt{2}\sin x+1) \end{aligned} $$

と変形できる。

したがって，不等式は

$$ (1+2\cos x)(\sqrt{2}\sin x+1)\leqq 0 $$

となる。

以下，それぞれの因子の符号を調べる。

まず，

$$ 1+2\cos x=0 $$

より

$$ \cos x=-\frac{1}{2} $$

であるから，

$$ x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$

である。よって

• $0\le x<\frac{2\pi}{3}$ および $\frac{4\pi}{3}<x<2\pi$ では $1+2\cos x>0$
• $\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}$ では $1+2\cos x<0$

である。

次に，

$$ \sqrt{2}\sin x+1=0 $$

より

$$ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

であるから，

$$ x=\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} $$

である。したがって

• $0\le x<\frac{5\pi}{4}$ および $\frac{7\pi}{4}<x<2\pi$ では $\sqrt{2}\sin x+1>0$
• $\frac{5\pi}{4}<x<\frac{7\pi}{4}$ では $\sqrt{2}\sin x+1<0$

である。

積が $0$ 以下となるのは，2つの因子の符号が異なるとき，またはどちらかが $0$ のときであるから，

**(i)**

$1+2\cos x<0,\ \sqrt{2}\sin x+1>0$ のとき

$$ \frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3},\quad 0\le x<\frac{5\pi}{4} $$

を同時に満たすので，

$$ \frac{2\pi}{3}<x\leqq \frac{5\pi}{4} $$

**(ii)**

$1+2\cos x>0,\ \sqrt{2}\sin x+1<0$ のとき

$$ \frac{4\pi}{3}<x<2\pi,\quad \frac{5\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{4} $$

を同時に満たすので，

$$ \frac{4\pi}{3}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{4} $$

となる。

以上より，求める解は

$$ \frac{2\pi}{3}\leqq x\leqq \frac{5\pi}{4} \quad \text{または} \quad \frac{4\pi}{3}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は，$\sin 2x=2\sin x\cos x$ を代入したあとに因数分解を見抜くことである。 そのまま三角関数の合成などを考えるより，

$$ \sqrt{2}\sin x+2\cos x+\sqrt{2}\sin 2x+1 $$

を

$$ (1+2\cos x)(\sqrt{2}\sin x+1) $$

とできれば，あとは一次の三角不等式2つの符号判定に帰着する。

三角不等式では，等号を与える点を先に求め，区間ごとに符号を整理するのが基本である。

答え

$$ x\in \left[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{4}\right]\cup \left[\frac{4\pi}{3},\frac{7\pi}{4}\right] $$