解説

方針・初手

各項について

$$ -1 \le \sin \alpha \le 1,\qquad -1 \le \sin 2\beta \le 1 $$

であるから，

$$ 1 \le 2+\sin \alpha \le 3,\qquad 1 \le 2+\sin 2\beta \le 3 $$

となる。したがって

$$ \frac{1}{2+\sin \alpha}\le 1,\qquad \frac{1}{2+\sin 2\beta}\le 1 $$

である。

この2つの和が $2$ になるためには，各項がともに $1$ でなければならない。この点を出発点にして $\alpha,\beta$ の形を決める。

解法1

与えられた条件は

$$ \frac{1}{2+\sin \alpha}+\frac{1}{2+\sin 2\beta}=2 $$

である。

先ほど見たように，

$$ \frac{1}{2+\sin \alpha}\le 1,\qquad \frac{1}{2+\sin 2\beta}\le 1 $$

であるから，その和が $2$ になるには

$$ \frac{1}{2+\sin \alpha}=1,\qquad \frac{1}{2+\sin 2\beta}=1 $$

でなければならない。

よって

$$ 2+\sin \alpha=1,\qquad 2+\sin 2\beta=1 $$

すなわち

$$ \sin \alpha=-1,\qquad \sin 2\beta=-1 $$

である。

したがって

$$ \alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi \qquad (k\in \mathbb{Z}) $$

また

$$ 2\beta=\frac{3\pi}{2}+2m\pi \qquad (m\in \mathbb{Z}) $$

より

$$ \beta=\frac{3\pi}{4}+m\pi \qquad (m\in \mathbb{Z}) $$

となる。

ゆえに

$$ \alpha+\beta=\frac{3\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}+(2k+m)\pi =\frac{9\pi}{4}+n\pi \qquad (n\in \mathbb{Z}) $$

と表せる。

したがって

$$ \left|\alpha+\beta-8\pi\right| =\left|\frac{9\pi}{4}+n\pi-8\pi\right| =\left|n-\frac{23}{4}\right|\pi $$

である。

ここで $n$ は整数なので，$\dfrac{23}{4}=5.75$ に最も近い整数は $6$ である。したがって最小値は

$$ \left|6-\frac{23}{4}\right|\pi=\frac{\pi}{4} $$

となる。

解説

この問題の本質は，分数の各項がそれぞれ $1$ 以下であることに気づけるかどうかである。

実際，$\sin \theta\ge -1$ より $2+\sin \theta\ge 1$ であるから，逆数は高々 $1$ である。その2つの和が最大値 $2$ をとるのは，両方が同時に最大値 $1$ をとる場合に限る。

その後は $\sin \alpha=-1,\ \sin 2\beta=-1$ を解いて，一般解から $\alpha+\beta$ の形を整理すればよい。

答え

$$ \frac{1}{4}\pi $$

したがって，

**ケ** $=1$，**コ** $=4$ である。