解説

方針・初手

（1） は $ \dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4} $ と分解して加法定理を用いればよい。

（2） は $\alpha=\arctan m,\ \beta=\arctan n$ と見れば、$\arctan x$ の単調増加性から $\alpha+\beta$ の最小値は $(m,n)=(1,2)$ のときに現れることを使える。

（3） は

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{m+n}{1-mn} $$

と表し、これが整数となる条件を整数論的に処理する。

解法1

**(1)**

加法定理より

$$ \tan\frac{7\pi}{12} =\tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\tan\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} =\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}. $$

これを有理化すると

$$ \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}} =\frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} =\frac{4+2\sqrt{3}}{-2} =-(2+\sqrt{3}). $$

したがって

$$ \tan\frac{7\pi}{12}=-(2+\sqrt{3}) $$

である。

**(2)**

$m,n$ は $0<m<n$ を満たす整数であるから

$$ m\ge 1,\qquad n\ge 2 $$

である。

また $\alpha=\arctan m,\ \beta=\arctan n$ であり、$\arctan x$ は $x>0$ で単調増加だから

$$ \alpha+\beta=\arctan m+\arctan n\ge \arctan 1+\arctan 2 =\frac{\pi}{4}+\arctan 2 $$

となる。

ここで

$$ \tan\left(\frac{\pi}{4}+\arctan 2\right) =\frac{1+2}{1-2}=-3 $$

である。

一方、（1） より

$$ \tan\frac{7\pi}{12}=-(2+\sqrt{3}) $$

であり、$\sqrt{3}>1$ なので

$$ -(2+\sqrt{3})<-3 $$

すなわち

$$ -3>\tan\frac{7\pi}{12} $$

である。

$\dfrac{\pi}{4}+\arctan2$ も $\dfrac{7\pi}{12}$ もともに $\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ に属する。この区間では $\tan x$ は単調増加だから、

$$ \tan\left(\frac{\pi}{4}+\arctan2\right)>\tan\frac{7\pi}{12} $$

より

$$ \frac{\pi}{4}+\arctan2>\frac{7\pi}{12} $$

となる。よって

$$ \alpha+\beta\ge \frac{\pi}{4}+\arctan2>\frac{7\pi}{12}. $$

したがって

$$ \alpha+\beta>\frac{7\pi}{12} $$

である。

**(3)**

加法定理より

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{m+n}{1-mn} =-\frac{m+n}{mn-1}. $$

ここで $m,n$ は正の整数で $m<n$ だから $mn\ge 2$ であり、したがって $mn-1>0$ である。よって $\tan(\alpha+\beta)$ が整数であるための必要十分条件は、

$$ p:=\frac{m+n}{mn-1} $$

が正の整数となることである。このとき

$$ \tan(\alpha+\beta)=-p $$

である。

ここから $m$ の値で場合分けする。

**(i)**

$m=1$ の場合

このとき

$$ p=\frac{n+1}{n-1} =1+\frac{2}{n-1}. $$

$p$ が整数であるためには $n-1$ が $2$ を割り切ればよい。$n>1$ より

$$ n-1=1,\ 2 $$

したがって

$$ n=2,\ 3 $$

である。よって

$$ (m,n)=(1,2),\ (1,3) $$

が得られる。

**(ii)**

$m\ge 2$ の場合

このとき $n\ge 3$ であるから

$$ mn-1-(m+n)=(m-1)(n-1)-2\ge 0 $$

となる。したがって

$$ mn-1\ge m+n $$

であり、

$$ 0<p=\frac{m+n}{mn-1}\le 1 $$

を得る。$p$ は正の整数だから

$$ p=1 $$

でなければならない。よって

$$ \frac{m+n}{mn-1}=1 $$

すなわち

$$ mn-m-n=1 $$

である。これを変形すると

$$ (m-1)(n-1)=2 $$

となる。

$m<n$ を満たす正の整数でこれを満たすのは

$$ (m-1,\ n-1)=(1,2) $$

のみであるから、

$$ (m,n)=(2,3) $$

を得る。

以上より、求める組は

$$ (m,n)=(1,2),\ (1,3),\ (2,3) $$

のすべてである。

解説

この問題の要点は二つである。

第一に、$\alpha,\beta$ を直接扱うのではなく $\alpha=\arctan m,\ \beta=\arctan n$ と見て、$\arctan x$ の単調性を使うことである。これにより （2） は最小の場合 $(m,n)=(1,2)$ に落とせる。

第二に、（3） では

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{m+n}{1-mn} $$

を整数条件に翻訳し、$\dfrac{m+n}{mn-1}$ が正の整数となる条件を調べればよい。$m=1$ と $m\ge 2$ で分けると、候補が一気に絞れる。

答え

**(1)**

$$ \tan\frac{7\pi}{12}=-(2+\sqrt{3}) $$

**(2)**

$$ \alpha+\beta>\frac{7\pi}{12} $$

**(3)**

$$ (m,n)=(1,2),\ (1,3),\ (2,3) $$