解説

方針・初手

（1） は三角形の内角和より $C=\pi-(A+B)$ とおき，加法定理で $\cos(A+B)$ を変形する。

（2） は $\cos A+\cos B$ を和積公式でまとめ，（1） の結果を用いて整理する。

（3） は $A=B$ とおいて1変数化し，二次関数の最大値として処理する。

解法1

**(1)**

三角形の内角和より

$$ A+B+C=\pi $$

であるから，

$$ C=\pi-(A+B) $$

である。よって

$$ \cos C=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos(A+B) $$

となる。

ここで，加法定理 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ において $\alpha=\beta=\dfrac{A+B}{2}$ とすると，

$$ \cos(A+B)=\cos^2\frac{A+B}{2}-\sin^2\frac{A+B}{2} $$

である。したがって

$$ \cos C =-\left(\cos^2\frac{A+B}{2}-\sin^2\frac{A+B}{2}\right) =\sin^2\frac{A+B}{2}-\cos^2\frac{A+B}{2} $$

となり，示された。

**(2)**

$x=\dfrac{A+B}{2},\ y=\dfrac{A-B}{2}$ とおくと，

$$ A=x+y,\quad B=x-y $$

であるから，和積公式より

$$ \cos A+\cos B =\cos(x+y)+\cos(x-y) =2\cos x\cos y $$

である。

また，（1） より

$$ \cos C=\sin^2x-\cos^2x $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \cos A+\cos B+\cos C-1 &=2\cos x\cos y+\sin^2x-\cos^2x-1 \\ &=2\cos x\cos y-(\cos^2x+1-\sin^2x) \\ &=2\cos x\cos y-2\cos^2x \\ &=2\cos x(\cos y-\cos x) \end{aligned} $$

となる。

ここで，三角形の内角なので $A>0,\ B>0,\ A+B<\pi$ である。したがって

$$ 0<\frac{A+B}{2}=x<\frac{\pi}{2} $$

であり，また

$$ |A-B|<A+B $$

より

$$ 0\le \frac{|A-B|}{2}<\frac{A+B}{2}=x<\frac{\pi}{2} $$

となる。よって余弦関数が $[0,\pi]$ で単調減少であることから，

$$ \cos y=\cos |y|>\cos x>0 $$

である。

したがって

$$ 2\cos x(\cos y-\cos x)>0 $$

となるので，

$$ \cos A+\cos B+\cos C-1>0 $$

すなわち

$$ \cos A+\cos B+\cos C>1 $$

である。

**(3)**

$A=B$ とする。$A=B=x$ とおけば，

$$ C=\pi-2x \qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right) $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \cos A+\cos B+\cos C &=2\cos x+\cos(\pi-2x) \\ &=2\cos x-\cos 2x \end{aligned} $$

となる。

ここで $t=\cos x$ とおくと，$0<t<1$ であり，

$$ \cos 2x=2\cos^2x-1=2t^2-1 $$

より

$$ \begin{aligned} \cos A+\cos B+\cos C &=2t-(2t^2-1) \\ &=-2t^2+2t+1 \\ &=-2\left(t-\frac12\right)^2+\frac32 \end{aligned} $$

となる。したがって最大値は

$$ \frac32 $$

であり，そのとき

$$ t=\frac12 $$

すなわち

$$ \cos x=\frac12 $$

であるから，

$$ x=\frac{\pi}{3} $$

となる。よって

$$ A=B=\frac{\pi}{3},\qquad C=\pi-2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3} $$

である。

解説

（1） は内角和 $A+B+C=\pi$ を使って $C$ を $A+B$ で表せばすぐに加法定理へつながる問題である。

（2） の本質は，$\cos A+\cos B$ をそのまま扱わず，和積公式で1つにまとめる点にある。そのうえで （1） の式を用いると，差 $\cos y-\cos x$ の正負判定に帰着できる。

（3） は対称条件 $A=B$ により1変数化できるので，三角関数のまま悩まず $\cos x=t$ とおいて二次関数に直すのが最も素直である。最大となるのは結局正三角形の場合である。

答え

**(1)**

$$ \cos C=\sin^2\frac{A+B}{2}-\cos^2\frac{A+B}{2} $$

**(2)**

$$ \cos A+\cos B+\cos C>1 $$

**(3)**

最大値は

$$ \frac32 $$

であり，そのとき

$$ A=B=C=\frac{\pi}{3} $$

である。