解説

方針・初手

（1） は $\sqrt3\sin x+\cos x$ を 1 つの三角関数に合成する。そうすればグラフの形がすぐ分かり，最大値・最小値も直ちに求まる。

（2） は，もし $f(x)$ が周期関数だとすると，差 $f(x+2)-f(x)$ と $f(x+2\pi)-f(x)$ も同じ周期をもつことに注目する。これにより，その周期が同時に $2\pi$ の整数倍かつ $2$ の整数倍でなければならず，$\pi$ の無理性に反することを示す。

解法1

**(1)**

$a=1$ のとき，

$$ f(x)=\sqrt3\sin x+\cos x $$

である。これを $R\sin(x+\alpha)$ の形に合成する。

$$ R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\sin x+R\sin\alpha\cos x $$

より，

$$ R\cos\alpha=\sqrt3,\qquad R\sin\alpha=1 $$

を満たす $R,\alpha$ をとればよい。したがって，

$$ R=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2 $$

であり，

$$ \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\alpha=\frac12 $$

より

$$ \alpha=\frac{\pi}{6} $$

となる。よって，

$$ f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $$

である。

したがって，$y=f(x)$ のグラフは $y=2\sin x$ を左に $\dfrac{\pi}{6}$ だけ平行移動したものであり，振幅は $2$，周期は $2\pi$ である。

区間 $0\le x\le 2\pi$ における主な点は

$$ f(0)=1,\quad f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2,\quad f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=0,\quad f\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-2,\quad f\left(\frac{11\pi}{6}\right)=0,\quad f(2\pi)=1 $$

であるから，これらを通る正弦曲線としてグラフを描けばよい。

また，

$$ f'(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $$

であるから，$0\le x\le 2\pi$ において

$$ f'(x)=0 \iff x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} \iff x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$

となる。したがって，

$$ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2,\qquad f\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-2 $$

より，最大値は $2$，最小値は $-2$ である。

**(2)**

$a=\pi$ のとき，

$$ f(x)=\sqrt3\sin x+\cos(\pi x) $$

とする。これが周期関数であり，正の周期 $T$ をもつと仮定する。

このとき，任意の定数 $c$ に対して

$$ g_c(x)=f(x+c)-f(x) $$

も周期 $T$ をもつ。実際，

$$ g_c(x+T)=f(x+T+c)-f(x+T)=f(x+c)-f(x)=g_c(x) $$

である。

まず，$c=2$ とすると，$\cos(\pi(x+2))=\cos(\pi x)$ であるから，

$$ f(x+2)-f(x)=\sqrt3{\sin(x+2)-\sin x} $$

となる。ここで，

$$ \sin(x+2)-\sin x=2\sin1\cos(x+1) $$

より，

$$ f(x+2)-f(x)=2\sqrt3\sin1\cos(x+1) $$

である。$\sin1\neq0$ であるから，これは定数関数ではない。したがって，その周期は $2\pi$ の整数倍でなければならない。よって，

$$ T=2m\pi $$

を満たす正整数 $m$ が存在する。

次に，$c=2\pi$ とすると，$\sin(x+2\pi)=\sin x$ であるから，

$$ f(x+2\pi)-f(x)=\cos{\pi(x+2\pi)}-\cos(\pi x) $$

となる。よって，

$$ f(x+2\pi)-f(x)=\cos(\pi x+2\pi^2)-\cos(\pi x) =-2\sin(\pi^2)\sin(\pi x+\pi^2) $$

である。

ここで，もし $\sin(\pi^2)=0$ ならば，ある整数 $n$ が存在して

$$ \pi^2=n\pi $$

となるから，

$$ \pi=n $$

となり，$\pi$ は有理数になってしまう。これは矛盾である。したがって，

$$ \sin(\pi^2)\neq0 $$

であり，$f(x+2\pi)-f(x)$ も定数関数ではない。ゆえに，その周期は $2$ の整数倍でなければならない。したがって，

$$ T=2n $$

を満たす正整数 $n$ が存在する。

以上より，

$$ 2m\pi=T=2n $$

となるので，

$$ \pi=\frac{n}{m} $$

となる。これは $\pi$ が無理数であることに反する。

よって，$a=\pi$ のとき $f(x)$ は周期関数ではない。

解説

（1） は三角関数の合成そのものである。$\sqrt3\sin x+\cos x$ を 1 つの正弦関数に直せば，グラフは標準的な正弦曲線の平行移動として理解できる。

（2） では，和の形のまま周期を直接論じると処理が難しい。そこで差 $f(x+c)-f(x)$ を考えて，一方の項だけを消すのが有効である。$c=2$ では $\cos(\pi x)$ の項が消え，$c=2\pi$ では $\sin x$ の項が消える。これにより，仮定した周期 $T$ が $2\pi$ の整数倍かつ $2$ の整数倍であることが分かり，最後に $\pi$ の無理性と矛盾する。

答え

**(1)**

$$ f(x)=\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $$

したがって，グラフは $y=2\sin x$ を左に $\dfrac{\pi}{6}$ だけ平行移動したものである。

区間 $0\le x\le 2\pi$ において，最大値は

$$ 2 $$

最小値は

$$ -2 $$

である。

**(2)**

$f(x)$ が周期 $T>0$ をもつと仮定すると，$f(x+2)-f(x)$ も $f(x+2\pi)-f(x)$ も周期 $T$ をもつ。

前者から $T$ は $2\pi$ の整数倍，後者から $T$ は $2$ の整数倍である。したがって，

$$ T=2m\pi=2n $$

となり，

$$ \pi=\frac{n}{m} $$

となって $\pi$ の無理性に反する。

よって，$a=\pi$ のとき $f(x)$ は周期関数ではない。