解説

方針・初手

$\sin \theta \cos \theta$ が含まれているので，$2\theta$ の式に直すのが自然である。

$\cos^2 \theta,\ \sin^2 \theta,\ \sin \theta \cos \theta$ をそれぞれ $\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$ で表し，三角関数の合成によって最大値・最小値を調べる。

解法1

与式 $f(\theta)=2\cos^2\theta-\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta$ に対して，

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},\qquad \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=2\cdot \frac{1+\cos2\theta}{2} -\sqrt{3}\cdot \frac{\sin2\theta}{2} +\frac{1-\cos2\theta}{2} \\ &=\frac{3+\cos2\theta}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta \\ &=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta\right) \end{aligned} $$

ここで，

$$ \cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos(x+60^\circ) $$

であるから，

$$ f(\theta)=\frac{3}{2}+\cos(2\theta+60^\circ) $$

となる。

次に，$0^\circ\leqq \theta\leqq 90^\circ$ より，

$$ 0^\circ\leqq 2\theta\leqq 180^\circ $$

したがって，

$$ 60^\circ\leqq 2\theta+60^\circ\leqq 240^\circ $$

である。

よって，$\cos(2\theta+60^\circ)$ の取りうる値をこの範囲で考える。

（i） 最大値

区間 $60^\circ\leqq x\leqq 240^\circ$ において，$\cos x$ の最大値は $x=60^\circ$ のときの

$$ \cos 60^\circ=\frac{1}{2} $$

である。

したがって，

$$ f(\theta)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2 $$

となる。このとき

$$ 2\theta+60^\circ=60^\circ $$

より，

$$ \theta=0^\circ $$

である。

（ii） 最小値

同じ区間で，$\cos x$ の最小値は $x=180^\circ$ のときの

$$ \cos 180^\circ=-1 $$

である。

したがって，

$$ f(\theta)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} $$

となる。このとき

$$ 2\theta+60^\circ=180^\circ $$

より，

$$ 2\theta=120^\circ,\qquad \theta=60^\circ $$

である。

解説

この問題の要点は，$\cos^2\theta,\ \sin^2\theta,\ \sin\theta\cos\theta$ が混在している式を $2\theta$ の一次式に直すことである。

$f(\theta)$ を $\dfrac{3}{2}+\cos(2\theta+60^\circ)$ の形にできれば，あとは角の範囲 $60^\circ\leqq 2\theta+60^\circ\leqq 240^\circ$ で $\cos$ の最大・最小を読むだけで済む。

答え

最大値は $2$，そのとき $\theta=0^\circ$ である。

最小値は $\dfrac{1}{2}$，そのとき $\theta=60^\circ$ である。