解説

方針・初手

$\sin x,\ \cos y$ をそれぞれ

$$ a=\sin x,\quad b=\cos y $$

とおくと，条件は

$$ a+b=t,\quad \cos x\sin y=t $$

である。

ここで $\sin x\cos y=ab$ を求めたいので，まず $ab$ を $t$ で表す。その後，$a+b=t$ と $(a-b)^2\geqq 0$ を用いて $t$ の範囲を絞る。

解法1

$p=\sin x\cos y$ とおく。

すると

$$ t=\sin x+\cos y $$

より

$$ t^2=(\sin x+\cos y)^2=\sin^2 x+\cos^2 y+2p $$

である。

一方，

$$ t=\cos x\sin y $$

より

$$ t^2=\cos^2 x\sin^2 y=(1-\sin^2 x)(1-\cos^2 y) $$

であるから，

$$ t^2=1-\sin^2 x-\cos^2 y+p^2 $$

を得る。

ここで上の2式を加えると，

$$ 2t^2=1+2p+p^2=(p+1)^2 $$

となる。

したがって

$$ (p+1)^2=2t^2 $$

である。

しかも $p=\sin x\cos y$ だから $-1\leqq p\leqq 1$ であり，特に $p+1\geqq 0$ である。よって

$$ p+1=\sqrt{2}|t| $$

となるから，

$$ p=\sqrt{2}|t|-1 $$

すなわち

$$ \sin x\cos y=\sqrt{2}|t|-1 $$

である。これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。

$a=\sin x,\ b=\cos y$ とすると，

$$ a+b=t,\quad ab=\sqrt{2}|t|-1 $$

である。

実数 $a,b$ に対して

$$ (a-b)^2\geqq 0 $$

より

$$ (a+b)^2-4ab\geqq 0 $$

が成り立つ。これに代入すると，

$$ t^2-4(\sqrt{2}|t|-1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ t^2-4\sqrt{2}|t|+4\geqq 0 $$

を得る。

ここで $u=|t|$ とおくと $u\geqq 0$ であり，

$$ u^2-4\sqrt{2}u+4\geqq 0 $$

となる。これを解くと，

$$ u\leqq 2\sqrt{2}-2 \quad \text{または} \quad u\geqq 2\sqrt{2}+2 $$

である。

しかし

$$ |t|=|\sin x+\cos y|\leqq |\sin x|+|\cos y|\leqq 2 $$

だから，$u\geqq 2\sqrt{2}+2$ は不可能である。したがって

$$ |t|\leqq 2\sqrt{2}-2 $$

すなわち

$$ -2(\sqrt{2}-1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}-1) $$

となる。

なお，等号は例えば $\sin\alpha=\sqrt{2}-1$ を満たす $\alpha$ に対し，

**(i)**

$x=\alpha,\ y=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$

のとき

$$ t=\sin x+\cos y=2(\sqrt{2}-1) $$

**(ii)**

$x=\pi+\alpha,\ y=\dfrac{\pi}{2}+\alpha$

のとき

$$ t=\sin x+\cos y=-2(\sqrt{2}-1) $$

となるので，端点も実際にとる。

解説

この問題の要点は，$\sin x\cos y$ を直接求めようとせず，

$$ t=\sin x+\cos y,\quad t=\cos x\sin y $$

をそれぞれ2乗して比較することである。

2つの式を2乗すると，$\sin^2 x+\cos^2 y$ を消去でき，$\sin x\cos y$ が1変数で表せる。その後は $a=\sin x,\ b=\cos y$ とおいて，実数条件

$$ (a-b)^2\geqq 0 $$

を使えば $t$ の範囲が出る。

三角関数の問題であっても，一度 $a,b$ という実数に置き換えると見通しがよくなる典型例である。

答え

**(1)**

$$ \sin x\cos y=\sqrt{2}|t|-1 $$

**(2)**

$$ -2(\sqrt{2}-1)\leqq t\leqq 2(\sqrt{2}-1) $$