解説

方針・初手

$f(\theta)$ を $2\theta$ の式に直し、三角関数の合成を行う。そうすると区間条件 $45^\circ\leqq\theta\leqq135^\circ$ が $2\theta-30^\circ$ の範囲に移り、正弦関数の最大・最小の問題に帰着できる。

解法1

倍角公式を用いて整理する。

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=3\sin^2\theta+4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta\\ &=3\cdot\frac{1-\cos2\theta}{2}+4\sqrt{3}\cdot\frac{\sin2\theta}{2}-\frac{1+\cos2\theta}{2}\\ &=1-2\cos2\theta+2\sqrt{3}\sin2\theta \end{aligned} $$

ここで三角関数を合成すると、

$$ \begin{aligned} -2\cos2\theta+2\sqrt{3}\sin2\theta &=4\sin(2\theta-30^\circ) \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ f(\theta)=1+4\sin(2\theta-30^\circ) $$

となる。

次に、$\theta$ の範囲を移す。

$$ 45^\circ\leqq\theta\leqq135^\circ $$

より、

$$ 60^\circ\leqq2\theta-30^\circ\leqq240^\circ $$

である。

そこで

$$ x=2\theta-30^\circ $$

とおくと、$x\in[60^\circ,240^\circ]$ における $\sin x$ の最大・最小を考えればよい。

$\sin x$ は $x=90^\circ$ で最大値 $1$ をとるから、

$$ 2\theta-30^\circ=90^\circ $$

より

$$ \theta=60^\circ $$

であり、そのとき

$$ f(\theta)=1+4\cdot1=5 $$

となる。

また、区間 $[60^\circ,240^\circ]$ では $\sin x$ の最小値は右端 $x=240^\circ$ における

$$ \sin240^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。したがって、

$$ 2\theta-30^\circ=240^\circ $$

より

$$ \theta=135^\circ $$

であり、そのとき

$$ f(\theta)=1+4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-2\sqrt{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta$ を $2\theta$ の式に直して合成することである。元の形のまま最大・最小を考えるより、

$$ f(\theta)=1+4\sin(2\theta-30^\circ) $$

と変形してしまえば、あとは正弦関数の値域を区間つきで調べるだけでよい。

注意すべき点は、最小値を考えるときに $\sin x=-1$ を機械的に使わないことである。今回は $x=2\theta-30^\circ$ の範囲が $[60^\circ,240^\circ]$ なので、$270^\circ$ は含まれない。したがって最小値は端点 $x=240^\circ$ で生じる。

答え

**(ア)**

$60$

**(イ)**

$5$

**(ウ)**

$135$

**(エ)**

$1-2\sqrt{3}$