解説

方針・初手

（1）は和を合成して値域を求める。

（2）では，関数に現れるのは $\sin x-\cos x$ である。ここを $\sin x+\cos x$ と取り違えると答えが変わるので，

$$ u=\sin x-\cos x $$

とおいて，$f(x)$ を $u$ の2次式に直す。

解法1

**(1)**

$$ t=\sin x+\cos x $$

とおく。加法定理より

$$ \sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

$x$ はすべての実数を動くので，$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ の値域は $[-1,1]$ である。したがって

$$ -\sqrt2\leqq t\leqq \sqrt2 $$

である。

**(2)**

画像の式より

$$ f(x)=a(\sin x-\cos x)-\sin x\cos x $$

である。

ここで

$$ u=\sin x-\cos x $$

とおくと，

$$ u=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

なので

$$ -\sqrt2\leqq u\leqq \sqrt2 $$

である。

また，

$$ u^2=(\sin x-\cos x)^2 =\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x =1-2\sin x\cos x $$

より

$$ \sin x\cos x=\frac{1-u^2}{2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} f(x) &=au-\frac{1-u^2}{2}\\ &=\frac12u^2+au-\frac12 \end{aligned} $$

となる。

よって，$f(x)$ の最大値は

$$ g(u)=\frac12u^2+au-\frac12 \qquad (-\sqrt2\leqq u\leqq \sqrt2) $$

の最大値に等しい。

$g(u)$ は係数 $\dfrac12>0$ の下に凸の2次関数であるから，閉区間での最大値は端点のどちらかでとる。

端点での値は

$$ g(\sqrt2)=1+a\sqrt2-\frac12=a\sqrt2+\frac12 $$

$$ g(-\sqrt2)=1-a\sqrt2-\frac12=-a\sqrt2+\frac12 $$

である。したがって最大値は

$$ \frac12+\sqrt2|a| $$

である。

これが $3$ に等しいから

$$ \frac12+\sqrt2|a|=3 $$

すなわち

$$ \sqrt2|a|=\frac52 $$

である。よって

$$ |a|=\frac{5}{2\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{4} $$

となる。

以上より

$$ a=\pm\frac{5\sqrt2}{4} $$

である。

解説

（1）は通常通り $\sin x+\cos x$ を合成すればよい。

一方，（2）の関数は

$$ a(\sin x-\cos x)-\sin x\cos x $$

であり，ここでは $\sin x-\cos x$ を置く必要がある。

$$ (\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x $$

を使うと，三角関数の最大値問題は区間

$$ -\sqrt2\leqq u\leqq \sqrt2 $$

における2次関数の最大値問題に帰着する。係数が正なので最大値は端点で生じる。

答え

**(1)**

$$ -\sqrt2\leqq t\leqq \sqrt2 $$

**(2)**

$$ a=\pm\frac{5\sqrt2}{4} $$