解説

方針・初手

$\cos 2\theta,\ \cos 4\theta$ を $\cos \theta$ で表せば、$y$ を $t=\cos \theta$ の多項式として扱える。

その後は $-1\leqq t\leqq 1$ の範囲でその多項式の最大・最小を調べればよい。

解法1

**(1)**

$t=\cos \theta$ とおく。

まず、

$$ \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1=2t^2-1 $$

である。

また、

$$ \cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1 =2(2t^2-1)^2-1 =8t^4-8t^2+1 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} y&=4\cos\theta+4\cos 2\theta+\cos 4\theta\\ &=4t+4(2t^2-1)+(8t^4-8t^2+1)\\ &=8t^4+4t-3 \end{aligned} $$

よって、

$$ y=8t^4+4t-3 $$

となる。

**(2)**

$t=\cos\theta$ であるから、

$$ -1\leqq t\leqq 1 $$

である。

そこで

$$ f(t)=8t^4+4t-3 $$

とおくと、

$$ f'(t)=32t^3+4=4(8t^3+1) $$

となる。

$f'(t)=0$ より、

$$ 8t^3+1=0 $$

$$ t^3=-\frac18 $$

$$ t=-\frac12 $$

したがって、$-1\leqq t\leqq 1$ において調べるべき値は

$$ t=-1,\ -\frac12,\ 1 $$

である。

それぞれについて $f(t)$ を求めると、

$$ f(-1)=8(-1)^4+4(-1)-3=1 $$

$$ f\left(-\frac12\right)=8\left(\frac1{16}\right)+4\left(-\frac12\right)-3 =\frac12-2-3 =-\frac92 $$

$$ f(1)=8+4-3=9 $$

よって、最大値は $9$、最小値は $-\dfrac92$ である。

次に、そのときの $\theta$ を求める。

最大値 $9$ は $t=1$ のときであるから、

$$ \cos\theta=1 $$

より、

$$ \theta=0 $$

である。

最小値 $-\dfrac92$ は $t=-\dfrac12$ のときであるから、

$$ \cos\theta=-\frac12 $$

より、

$$ \theta=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、三角関数のまま最大・最小を考えるのではなく、$t=\cos\theta$ とおいて $-1\leqq t\leqq 1$ の範囲の多項式の問題に直すことである。

特に $\cos 4\theta$ を $\cos\theta$ で表すときに、まず $\cos 2\theta$ を用いて

$$ \cos 4\theta=2\cos^2 2\theta-1 $$

とするのが自然である。

すると $y$ が $8t^4+4t-3$ という4次式になり、微分によって確実に最大・最小を判定できる。

答え

**(1)**

$$ y=8t^4+4t-3 $$

**(2)**

最大値は

$$ 9 $$

であり、そのとき

$$ \theta=0 $$

最小値は

$$ -\frac92 $$

であり、そのとき

$$ \theta=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3} $$