解説

方針・初手

$x=\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta$ は三角関数の合成で 1 つの正弦にまとめるのが自然である。

また、$y$ は $\sin 2\theta,\cos 2\theta$ を $\sin \theta,\cos \theta$ で表して整理すると、$x$ を用いた式に落とせる。先に $x$ の範囲を求め、次に $y$ を $x$ の2次式で表して値域を調べる。

解法1

まず、

$$ x=\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) $$

である。

ここで $0\leqq \theta \leqq \pi$ だから、

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \theta+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3} $$

となる。したがって、$\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$ の値域をこの区間で考えればよい。

区間 $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right]$ において、 最大値は $\dfrac{\pi}{2}$ のとき $1$、 最小値は $\dfrac{4\pi}{3}$ のとき $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

よって、

$$ -\sqrt{3}\leqq x\leqq 2 $$

となる。

次に、$y$ を整理する。

$$ \sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta,\qquad \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta $$

より、

$$ \begin{aligned} y &=\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta-2\sin \theta-2\sqrt{3}\cos \theta+2 \\ &=2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta-2\sin \theta-2\sqrt{3}\cos \theta+2 \end{aligned} $$

一方、

$$ \begin{aligned} x^2 &=(\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^2 \\ &=\sin^2\theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta+3\cos^2\theta \\ &=2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-2\sin^2\theta+3 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} x^2-2x &=\left(2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-2\sin^2\theta+3\right) -2(\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta) \\ &=2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta-2\sin \theta-2\sqrt{3}\cos \theta+2 \\ &=y \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ y=x^2-2x $$

である。

ここで $x$ の範囲は $-\sqrt{3}\leqq x\leqq 2$ であるから、この区間で2次関数

$$ y=x^2-2x=(x-1)^2-1 $$

の値域を調べる。

頂点は $x=1$ にあり、このとき

$$ y=-1 $$

であるから最小値は $-1$ である。

最大値は端点で比較すればよい。

$$ y(2)=2^2-2\cdot 2=0 $$

$$ y(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^2-2(-\sqrt{3})=3+2\sqrt{3} $$

よって最大値は $3+2\sqrt{3}$ である。

したがって、$y$ の値域は

$$ -1\leqq y\leqq 3+2\sqrt{3} $$

となる。

解説

$x$ は合成によってすぐに値域が出る形である。

一方、$y$ は一見複雑であるが、$x^2$ を展開すると $\sin 2\theta,\cos 2\theta$ を含む形ときれいに対応し、$y=x^2-2x$ とまとめられる。こうして媒介変数 $\theta$ を消去できれば、あとは2次関数の値域の問題になる。

答え

$$ [ア]; -\sqrt{3}\leqq x\leqq 2 $$

$$ [イ]; x^2-2x $$

$$ [ウ]; -1\leqq y\leqq 3+2\sqrt{3} $$