解説

方針・初手

まず

$$ t=\sin\theta+\cos\theta $$

とおくと、$t^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta=1+2\sin\theta\cos\theta$ より

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

と表せる。したがって、$f(\theta)$ を $t$ の式に直し、そのうえで $t$ の範囲で三次関数の最大・最小を調べればよい。

解法1

**(1)**

$t=\sin\theta+\cos\theta$ の範囲を求める。

加法定理を用いると、

$$ t=\sin\theta+\cos\theta =\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで $0\leqq\theta\leqq\pi$ であるから、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

となる。よって、$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ の最大値は $1$、最小値は $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ である。

したがって、

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

である。

**(2)**

$f(\theta)$ を $t$ の関数 $g(t)$ で表す。

$t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、

$$ (\sin\theta+\cos\theta)^3 =\sin^3\theta+\cos^3\theta+3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta) $$

であるから、

$$ \sin^3\theta+\cos^3\theta =t^3-3t\sin\theta\cos\theta $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=4\sin^3\theta-9\sin\theta\cos\theta+4\cos^3\theta+1 \\ &=4(\sin^3\theta+\cos^3\theta)-9\sin\theta\cos\theta+1 \\ &=4\left(t^3-3t\sin\theta\cos\theta\right)-9\sin\theta\cos\theta+1 \end{aligned} $$

である。

さらに

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=4t^3-(12t+9)\frac{t^2-1}{2}+1 \\ &=4t^3-6t(t^2-1)-\frac{9}{2}(t^2-1)+1 \\ &=-2t^3-\frac{9}{2}t^2+6t+\frac{11}{2} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ g(t)=-2t^3-\frac{9}{2}t^2+6t+\frac{11}{2} $$

である。

**(3)**

$-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ のときの $g(t)$ の最大値・最小値を求める。

微分すると、

$$ g'(t)=-6t^2-9t+6=-3(2t-1)(t+2) $$

である。

このとき、区間 $[-1,\sqrt{2}]$ では $t+2>0$ であるから、$g'(t)$ の符号は $2t-1$ により決まる。したがって、

• $-1\leqq t<\dfrac{1}{2}$ では $g'(t)>0$
• $\dfrac{1}{2}<t\leqq \sqrt{2}$ では $g'(t)<0$

である。

よって、$g(t)$ は $t=\dfrac{1}{2}$ で最大となる。

まず最大値は、

$$ \begin{aligned} g\left(\frac{1}{2}\right) &=-2\left(\frac{1}{2}\right)^3-\frac{9}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2+6\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{11}{2} \\ &=-\frac{1}{4}-\frac{9}{8}+3+\frac{11}{2} \\ &=\frac{57}{8} \end{aligned} $$

である。

最小値は端点を調べればよい。

$$ g(-1)=-2(-1)^3-\frac{9}{2}(-1)^2+6(-1)+\frac{11}{2}=-3 $$

また、

$$ \begin{aligned} g(\sqrt{2}) &=-2(\sqrt{2})^3-\frac{9}{2}(\sqrt{2})^2+6\sqrt{2}+\frac{11}{2} \\ &=-4\sqrt{2}-9+6\sqrt{2}+\frac{11}{2} \\ &=2\sqrt{2}-\frac{7}{2} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ 2\sqrt{2}-\frac{7}{2}>-3 $$

であるから、最小値は $g(-1)=-3$ である。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta+\cos\theta$ をひとつの文字 $t$ にまとめることである。すると、

$$ t^2=1+2\sin\theta\cos\theta $$

から $\sin\theta\cos\theta$ も $t$ で表せるため、三角関数の問題を三次関数の最大・最小の問題に変換できる。

また、$t=\sin\theta+\cos\theta$ の範囲は、$\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$ と変形して調べるのが基本である。あとは、得られた三次関数を微分して増減を見ればよい。

答え

**(1)**

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ g(t)=-2t^3-\frac{9}{2}t^2+6t+\frac{11}{2} $$

**(3)**

最大値は

$$ \frac{57}{8} $$

そのときの $t$ の値は

$$ t=\frac{1}{2} $$

最小値は

$$ -3 $$

そのときの $t$ の値は

$$ t=-1 $$