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数学2 三角関数「三角関数･最大最小」の問題8 解説

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数学2三角関数三角関数･最大最小問題8

解説

$\cos 2x$ と $\sin^2 x$ を $\cos x$ で表し，$y$ を $\cos x$ の2次式に直す。すると，$\cos x$ の取り得る範囲 $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ のもとでの最大・最小の問題になる。

$t=\cos x$ とおくと，$-1 \leqq t \leqq 1$ である。

また，

$$ \cos 2x=2\cos^2 x-1=2t^2-1,\qquad \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-t^2 $$

であるから，

$$ \begin{aligned} y &=3\cos 2x+2\sin^2 x-4\cos x-2\\ &=3(2t^2-1)+2(1-t^2)-4t-2\\ &=6t^2-3+2-2t^2-4t-2\\ &=4t^2-4t-3 \end{aligned} $$

したがって，

$$ y=4t^2-4t-3=4\left(t-\frac12\right)^2-4 $$

となる。

ここで $-1 \leqq t \leqq 1$ である。

まず，$4\left(t-\frac12\right)^2 \geqq 0$ より，

$$ y \geqq -4 $$

であり，$t=\dfrac12$ のとき等号が成り立つ。よって最小値は $-4$ である。

次に，最大値は $\left(t-\dfrac12\right)^2$ が最大になるときに生じる。区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ において，$\dfrac12$ から最も遠いのは $t=-1$ であるから，

$$ y=4\left(-1-\frac12\right)^2-4=4\cdot \frac94-4=5 $$

となる。したがって最大値は $5$ である。

三角関数の最大・最小では，$\sin x,\cos x$ を1種類にそろえて整理するのが基本である。この問題では $\cos 2x,\sin^2 x,\cos x$ が混在しているので，$\cos x$ に統一するとすぐに2次関数の問題になる。

その後は，$\cos x$ の範囲が $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ であることを使えばよい。平方完成まで進めると，最小値・最大値の判定が極めて見やすくなる。

[③] $5$

[④] $-4$