解説

方針・初手

$\cos 2x$ を $\sin x$ で表すと、$y$ を $\sin x$ の2次式として扱える。 $\sin x$ の値域は $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ であるから、その区間で2次関数の最大値・最小値を調べればよい。

解法1

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ より、

$$ y=\sin x+\cos 2x=\sin x+1-2\sin^2 x $$

となる。

ここで

$$ t=\sin x \qquad (-1\leqq t\leqq 1) $$

とおくと、

$$ y=-2t^2+t+1 $$

である。

これは $t$ についての下に凸ではなく上に凸の2次関数であるから、平方完成すると

$$ y=-2\left(t-\frac14\right)^2+\frac98 $$

となる。

したがって最大値は

$$ \frac98 $$

である。

次に最小値を調べる。$y=-2t^2+t+1$ は上に開く放物線ではなく下に開く放物線なので、区間 $-1\leqq t\leqq 1$ における最小値は端点でとる。そこで

$$ t=-1 \text{ のとき } y=-2(-1)^2+(-1)+1=-2 $$

$$ t=1 \text{ のとき } y=-2(1)^2+1+1=0 $$

より、最小値は $-2$ である。

以上より、$y$ のとり得る値の範囲は

$$ -2\leqq y\leqq \frac98 $$

である。

解説

$\sin x$ と $\cos 2x$ が混在しているが、$\cos 2x=1-2\sin^2 x$ を使えば $\sin x$ だけの式になる。すると「三角関数の値域の問題」が「$-1\leqq t\leqq 1$ における2次関数の値域の問題」に変わる。

この種の問題では、三角関数の基本範囲をうまく使って1変数化するのが典型である。

答え

$$ -2\leqq y\leqq \frac98 $$