解説

方針・初手

$f(\theta)$ を $\sin 2\theta,\ \cos 2\theta$ で表すには、

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2},\qquad \cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2},\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{\sin 2\theta}{2} $$

を用いればよい。

また、$0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ であるから、$2\theta$ は $0^\circ$ から $360^\circ$ まで動く。したがって、$\sin 2\theta,\cos 2\theta$ を用いた一次式の最大値・最小値は、合成によってそのまま求められる。

解法1

**(1)**

与式

$$ f(\theta)=2{(a-1)\sin^2\theta+a\sin\theta\cos\theta+(a+1)\cos^2\theta} $$

に上の公式を代入すると、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=2\left\{(a-1)\frac{1-\cos 2\theta}{2}+a\frac{\sin 2\theta}{2}+(a+1)\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right\} \\ &=(a-1)(1-\cos 2\theta)+a\sin 2\theta+(a+1)(1+\cos 2\theta) \end{aligned} $$

これを整理して、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=(a-1+a+1)+a\sin 2\theta+{-(a-1)+(a+1)}\cos 2\theta \\ &=2a+a\sin 2\theta+2\cos 2\theta \end{aligned} $$

よって、

$$ f(\theta)=a\sin 2\theta+2\cos 2\theta+2a $$

である。

したがって、

$$ [\text{ア}]=a,\qquad [\text{イ}]=2,\qquad [\text{ウ}]=2a $$

である。

**(2)**

（1）より

$$ f(\theta)=a\sin 2\theta+2\cos 2\theta+2a $$

である。

ここで、

$$ a\sin 2\theta+2\cos 2\theta $$

の振幅は

$$ \sqrt{a^2+2^2}=\sqrt{a^2+4} $$

であるから、

$$ f(\theta) $$

の最大値と最小値はそれぞれ

$$ 2a+\sqrt{a^2+4},\qquad 2a-\sqrt{a^2+4} $$

となる。

よって、その差は

$$ \left(2a+\sqrt{a^2+4}\right)-\left(2a-\sqrt{a^2+4}\right)=2\sqrt{a^2+4} $$

である。これが $5$ なので、

$$ 2\sqrt{a^2+4}=5 $$

より、

$$ \sqrt{a^2+4}=\frac{5}{2} $$

したがって、

$$ a^2+4=\frac{25}{4} $$

$$ a^2=\frac{9}{4} $$

$a>0$ であるから、

$$ a=\frac{3}{2} $$

である。

このとき $f(\theta)$ の最大値は

$$ 2a+\sqrt{a^2+4} =2\cdot \frac{3}{2}+\frac{5}{2} =3+\frac{5}{2} =\frac{11}{2} $$

である。

よって、

$$ [\text{エ}]=\frac{3}{2},\qquad [\text{オ}]=\frac{11}{2} $$

解説

この問題の要点は、$\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta$ を $2\theta$ の式に直すことである。そうすると $f(\theta)$ は

$$ A\sin 2\theta+B\cos 2\theta+C $$

の形になり、最大値・最小値は振幅 $\sqrt{A^2+B^2}$ を用いて一気に処理できる。

また、$\theta$ の範囲が $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ なので、$2\theta$ は $0^\circ$ から $360^\circ$ を動く。したがって、合成した三角関数はちょうど1周期分を動き、最大値・最小値を確実にとる。

答え

$$ \text{(1)}\quad [\text{ア}]=a,\qquad [\text{イ}]=2,\qquad [\text{ウ}]=2a $$

$$ \text{(2)}\quad [\text{エ}]=\frac{3}{2},\qquad [\text{オ}]=\frac{11}{2} $$