解説

方針・初手

$t=\sin x+\cos x$ とおくと、$\sin x\cos x$ や $\sin^3 x+\cos^3 x$ はいずれも $t$ で表せる。 したがって、まず $t$ の取りうる範囲を求め、次に $f(x)$ を $t$ の三次式に直してから、その区間上で最大値・最小値を調べればよい。

解法1

**(1)**

$t=\sin x+\cos x$ を合成すると、

$$ t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。 よって

$$ a=\sqrt{2},\quad b=\frac{\pi}{4} $$

である。

次に、$0\leqq x\leqq \pi$ より

$$ \frac{\pi}{4}\leqq x+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

であるから、$\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ の取りうる値は $\left[-\frac{1}{\sqrt{2}},1\right]$ である。したがって、

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

となる。

---

**(2)**

$$ t^2=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x $$

より、

$$ t^2=1+2\sin x\cos x $$

したがって、

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

である。

---

**(3)**

$\sin^3 x+\cos^3 x$ を $t$ で表す。

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x) $$

であるから、

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=t^3-3t\cdot \frac{t^2-1}{2} $$

$$ =t^3-\frac{3}{2}t^3+\frac{3}{2}t =-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t $$

よって、

$$ 2(\sin^3 x+\cos^3 x)=-t^3+3t $$

また、

$$ 8\sin x\cos x=8\cdot \frac{t^2-1}{2}=4t^2-4 $$

であるから、

$$ f(x)=2(\cos^3 x+\sin^3 x)+8\sin x\cos x $$

$$ =-t^3+3t+4t^2-4 $$

すなわち、

$$ f(x)=-t^3+4t^2+3t-4 $$

である。

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（4） （1） より $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ であり、

$$ f(t)=-t^3+4t^2+3t-4 $$

とみなせる。これを微分すると、

$$ f'(t)=-3t^2+8t+3 $$

である。したがって、

$$ f'(t)=0 $$

$$ \iff -3t^2+8t+3=0 $$

$$ \iff 3t^2-8t-3=0 $$

$$ \iff (3t+1)(t-3)=0 $$

よって、

$$ t=-\frac{1}{3},\ 3 $$

を得る。このうち、$-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ に含まれるのは

$$ t=-\frac{1}{3} $$

のみである。

そこで、$t=-1,\ -\frac13,\ \sqrt2$ での値を調べる。

$$ f(-1)=-(-1)^3+4(-1)^2+3(-1)-4=-2 $$

$$ f\left(-\frac13\right) =-\left(-\frac13\right)^3+4\left(-\frac13\right)^2+3\left(-\frac13\right)-4 $$

$$ =\frac{1}{27}+\frac{4}{9}-1-4 =-\frac{122}{27} $$

$$ f(\sqrt2)=-(\sqrt2)^3+4(\sqrt2)^2+3\sqrt2-4 =-2\sqrt2+8+3\sqrt2-4 =4+\sqrt2 $$

以上より、

$$ \max f(x)=4+\sqrt2,\qquad \min f(x)=-\frac{122}{27} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin x+\cos x$ を新しい文字 $t$ に置いて式全体を一変数化することである。 $\sin x\cos x$ は

$$ (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x $$

から直ちに求まり、さらに $\sin^3 x+\cos^3 x$ も

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $$

を使えば $t$ で表せる。

このようにして $f(x)$ を $t$ の三次式に変形できれば、あとは区間 $-1\leqq t\leqq \sqrt2$ 上での最大値・最小値を調べるだけになる。三角関数の最適化を代数の問題に直す典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

したがって、

$$ a=\sqrt2,\quad b=\frac{\pi}{4} $$

また、

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt2 $$

である。

**(2)**

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

**(3)**

$$ f(x)=-t^3+4t^2+3t-4 $$

**(4)**

$$ \max f(x)=4+\sqrt2,\qquad \min f(x)=-\frac{122}{27} $$