解説

方針・初手

条件 $x^2+y^2=1,\ x\geqq 0,\ y\geqq 0$ より、$x=\cos\theta,\ y=\sin\theta\ \left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ とおくのが自然である。

すると $F$ は $\sin 2\theta,\ \cos 2\theta$ を用いて表せるので、最後は三角関数の合成で最大値を求めればよい。

解法1

$x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ とおくと、

$$ F=x^2+2\sqrt{3}xy-y^2 =\cos^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta $$

である。

ここで

$$ \cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta,\qquad 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta $$

より、

$$ F=\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta $$

となる。したがって **[1]** は

$$ \sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

である。

次に三角関数の合成を行う。

$$ \cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta =2\left(\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta\right) =2\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) $$

よって、

$$ F=2\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{6}\right) $$

となるから、**[2]** は $2$、**[3]** は $6$ である。

さらに $0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ なので、

$$ \frac{\pi}{6}\leqq 2\theta+\frac{\pi}{6}\leqq \frac{7\pi}{6} $$

である。この範囲で $\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ の最大値は $1$ であり、そのとき

$$ 2\theta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ 2\theta=\frac{\pi}{3},\qquad \theta=\frac{\pi}{6} $$

である。したがって **[4]** は $\dfrac{\pi}{6}$ であり、そのとき

$$ F_{\max}=2 $$

となるので、**[5]** は $2$ である。

このとき

$$ x=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad y=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} $$

より、**[6]** は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、**[7]** は $\dfrac{1}{2}$ である。

解説

この問題の要点は、$x^2+y^2=1$ という条件を見たら $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ とおくことである。

すると $x^2-y^2$ と $2xy$ がそれぞれ $\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$ に直るため、式全体が $a\sin 2\theta+b\cos 2\theta$ の形になり、三角関数の合成で最大値を一気に処理できる。

答え

$$ \boxed{[1]=\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta} $$

$$ \boxed{[2]=2} $$

$$ \boxed{[3]=6} $$

$$ \boxed{[4]=\frac{\pi}{6}} $$

$$ \boxed{[5]=2} $$

$$ \boxed{[6]=\frac{\sqrt{3}}{2}} $$

$$ \boxed{[7]=\frac{1}{2}} $$