解説

方針・初手

$\sin x\cos x,\ \sin^2x,\ \cos^2x$ が混在しているので、二倍角の公式を用いて $\cos 2x,\ \sin 2x$ の式に直す。すると三角関数の合成ができ、最大値・最小値がすぐに読める形になる。

解法1

二倍角の公式

$$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2},\qquad \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=8\sqrt3\cos^2x+6\sin x\cos x+2\sqrt3\sin^2x\\ &=8\sqrt3\cdot \frac{1+\cos2x}{2}+6\cdot \frac{1}{2}\sin2x+2\sqrt3\cdot \frac{1-\cos2x}{2}\\ &=4\sqrt3(1+\cos2x)+3\sin2x+\sqrt3(1-\cos2x)\\ &=5\sqrt3+3\sqrt3\cos2x+3\sin2x \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ 3\sqrt3\cos2x+3\sin2x $$

を合成する。$R>0,\ \theta$ を用いて

$$ R\cos(2x-\theta)=R\cos2x\cos\theta+R\sin2x\sin\theta $$

とおくと、

$$ R\cos\theta=3\sqrt3,\qquad R\sin\theta=3 $$

であるから、

$$ R=\sqrt{(3\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6 $$

また

$$ \cos\theta=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\theta=\frac{3}{6}=\frac12 $$

より $\theta=30^\circ$ である。したがって

$$ f(x)=5\sqrt3+6\cos(2x-30^\circ) $$

となる。

$0^\circ\leqq x\leqq 180^\circ$ より、

$$ -30^\circ\leqq 2x-30^\circ\leqq 330^\circ $$

である。この範囲には $\cos$ が最大値 $1$ をとる $0^\circ$ も、最小値 $-1$ をとる $180^\circ$ も含まれる。

したがって、

（i） 最大値のとき

$$ \cos(2x-30^\circ)=1 $$

より

$$ 2x-30^\circ=0^\circ \quad \Longrightarrow \quad x=15^\circ $$

このとき

$$ f(x)=5\sqrt3+6 $$

である。

（ii） 最小値のとき

$$ \cos(2x-30^\circ)=-1 $$

より

$$ 2x-30^\circ=180^\circ \quad \Longrightarrow \quad x=105^\circ $$

このとき

$$ f(x)=5\sqrt3-6 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sin^2x,\cos^2x,\sin x\cos x$ を二倍角でまとめ、$a\cos2x+b\sin2x$ を合成することである。合成後は定数 $+$ 振幅 $\times \cos(\cdots)$ となるので、最大値・最小値は振幅から直ちに決まる。

答え

最大値は

$$ 5\sqrt3+6 $$

で、そのとき

$$ x=15^\circ $$

最小値は

$$ 5\sqrt3-6 $$

で、そのとき

$$ x=105^\circ $$