解説

方針・初手

（1） は左辺を展開し、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を用いればよい。

（2） は （1） の等式を用いて

$$ (1+\sin\theta)(1+\cos\theta)=\frac{1}{2}(1+\sin\theta+\cos\theta)^2 $$

と変形するのが自然である。あとは $\sin\theta+\cos\theta$ の値域を調べれば、最大値・最小値が求まる。

解法1

（1） 左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (1+\sin\theta+\cos\theta)^2 &=1+\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta+2\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta \\ &=1+1+2\sin\theta+2\cos\theta+2\sin\theta\cos\theta \\ &=2(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta) \\ &=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ (1+\sin\theta+\cos\theta)^2=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) $$

が成り立つ。

（2） （1） より、

$$ (1+\sin\theta)(1+\cos\theta)=\frac{1}{2}(1+\sin\theta+\cos\theta)^2 $$

である。

ここで、

$$ \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ) $$

だから、

$$ (1+\sin\theta)(1+\cos\theta)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)\right)^2 $$

と書ける。

$\sin(\theta+45^\circ)$ の値域は $-1\leqq \sin(\theta+45^\circ)\leqq 1$ であるから、

$$ 1-\sqrt{2}\leqq 1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)\leqq 1+\sqrt{2} $$

となる。

したがって、求める関数は

$$ \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)\right)^2 $$

であるから、その最小値は $0$、最大値は

$$ \frac{1}{2}(1+\sqrt{2})^2=\frac{3+2\sqrt{2}}{2} $$

である。

実際、最大値は $\sin(\theta+45^\circ)=1$、すなわち $\theta=45^\circ$ のときにとる。

また最小値 $0$ は

$$ 1+\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)=0 $$

すなわち

$$ \sin(\theta+45^\circ)=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$

のときにとる。$0^\circ\leqq \theta<360^\circ$ においては $\theta=180^\circ,\ 270^\circ$ である。

解説

この問題の要点は、積 $(1+\sin\theta)(1+\cos\theta)$ をそのまま扱うのではなく、（1） の恒等式によって平方の形に直すことである。

平方の形に直すと常に $0$ 以上であることがすぐ分かり、さらに $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)$ を使えば値域の処理が一気に簡単になる。

直接展開して整理するより、まず「和をまとめて平方にする」という発想が有効な問題である。

答え

**(1)**

$$ (1+\sin\theta+\cos\theta)^2=2(1+\sin\theta)(1+\cos\theta) $$

が成り立つ。

**(2)**

最大値は

$$ \frac{3+2\sqrt{2}}{2} $$

最小値は

$$ 0 $$

である。