解説

方針・初手

$2\sin x\cos x=\sin 2x$、$\cos^2 x,\sin^2 x$ は倍角公式で $\cos 2x$ に直す。すると $y$ は $\sin 2x,\cos 2x$ の一次式になるので、これを合成して $a\sin(2x+b)+c$ の形にする。

解法1

まず、倍角公式を用いて整理する。

$$ 2\sqrt{3}\sin x\cos x=\sqrt{3}\sin 2x $$

また、

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} $$

より、

$$ \begin{aligned} 4\cos^2 x-2\sin^2 x &=4\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}-2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2} \\ &=2(1+\cos 2x)-(1-\cos 2x) \\ &=1+3\cos 2x \end{aligned} $$

したがって、

$$ y=\sqrt{3}\sin 2x+3\cos 2x+1 $$

これを

$$ y=R\sin(2x+\theta)+1 $$

とおくと、

$$ R\sin(2x+\theta)=R\sin 2x\cos\theta+R\cos 2x\sin\theta $$

であるから、係数比較により

$$ R\cos\theta=\sqrt{3},\qquad R\sin\theta=3 $$

となる。よって、

$$ R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} $$

さらに、

$$ \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac12,\qquad \sin\theta=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}2 $$

より、

$$ \theta=\frac{\pi}{3}\qquad \left(0\leqq \theta<\pi\right) $$

である。したがって、

$$ y=2\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1 $$

となる。

次に、$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ のときの最大・最小を考える。

このとき

$$ 0\leqq 2x\leqq \pi $$

であるから、

$$ \frac{\pi}{3}\leqq 2x+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3} $$

となる。

ここで、$\sin t$ は $t=\dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $1$ をとる。$\dfrac{\pi}{2}$ は区間 $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right]$ に含まれるので、

$$ 2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2} $$

より、

$$ 2x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{\pi}{12} $$

のとき $y$ は最大となる。

一方、$\sin t$ の最小値 $-1$ は $t=\dfrac{3\pi}{2}$ でとるが、これは区間 $\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right]$ に含まれない。したがってこの区間での最小値は右端 $t=\dfrac{4\pi}{3}$ でとる。

よって、

$$ 2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} $$

より、

$$ 2x=\pi,\qquad x=\frac{\pi}{2} $$

のとき $y$ は最小となる。

解説

この問題の要点は、三角関数の式をまず $\sin 2x,\cos 2x$ だけの形に直すことである。その後は

$$ a\sin t+b\cos t=R\sin(t+\theta) $$

という標準的な合成を使えばよい。

最大・最小については、合成後に角 $2x+\dfrac{\pi}{3}$ がどの範囲を動くかを確認するのが重要である。単に $\sin$ の最大最小を覚えるだけでなく、その角がその値をとれる範囲にあるかどうかを必ず確認しなければならない。

答え

$$ \text{[ア]}=2\sqrt{3},\qquad \text{[イ]}=\frac{\pi}{3},\qquad \text{[ウ]}=1 $$

$$ \text{[エ]}=\frac{\pi}{12},\qquad \text{[オ]}=\frac{\pi}{2} $$