基礎問題集
数学2 三角関数「三角関数･最大最小」の問題16 解説
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解説
方針・初手
$y=\sin^3 x-\sin x$ は $\sin x$ だけで表されているので、$t=\sin x$ とおくと $-1\le t\le 1$ の範囲で三次関数
$$ y=t^3-t $$
の最大値を調べる問題に帰着できる。まずは $t$ の関数として最大値を求める。
解法1
$t=\sin x$ とおくと、$-1\le t\le 1$ で
$$ y=t^3-t $$
となる。
したがって、$-1\le t\le 1$ における関数
$$ f(t)=t^3-t $$
の最大値を求めればよい。
$f'(t)$ を求めると
$$ f'(t)=3t^2-1 $$
であるから、極値をとるのは
$$ 3t^2-1=0 $$
すなわち
$$ t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$
のときである。
そこで、端点と極値候補での値を調べる。
$$ f(1)=1-1=0 $$
$$ f(-1)=-1+1=0 $$
$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}} =-\frac{2}{3\sqrt{3}} $$
$$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3+\frac{1}{\sqrt{3}} =-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{2}{3\sqrt{3}} $$
よって最大値は
$$ \frac{2}{3\sqrt{3}} $$
である。
解説
この問題の要点は、$x$ を直接動かすのではなく、$\sin x$ の取りうる値の範囲 $[-1,1]$ に着目することである。三角関数の問題でも、式が $\sin x$ のみでできていれば、文字 $t=\sin x$ に置き換えて通常の関数の最大・最小の問題として処理できる。
また、最大値を調べるときは、極値候補だけでなく端点の値も必ず確認する必要がある。
答え
$$ \frac{2}{3\sqrt{3}} $$
したがって、最大値は
$$ \boxed{\frac{2}{3\sqrt{3}}} $$
である。