解説

方針・初手

$2\theta$ を用いて式を整理すると、$\sin 2\theta,\cos 2\theta$ の一次式になる。 すると、区間 $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ は $0\leqq 2\theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ に対応するので、1変数関数の最大・最小として扱いやすい。

解法1

求める式を

$$ f(\theta)=\sin\theta\cos\theta+2\cos^2\theta $$

とおく。

まず、倍角公式 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$， $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=\frac{1}{2}\sin 2\theta+2\cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2} \\ &=\frac{1}{2}\sin 2\theta+1+\cos 2\theta \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ x=2\theta $$

とおくと、$0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{4}$ より

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2} $$

であり、

$$ f(\theta)=1+\cos x+\frac{1}{2}\sin x $$

となる。

この関数を

$$ g(x)=1+\cos x+\frac{1}{2}\sin x $$

とおくと、

$$ g'(x)=-\sin x+\frac{1}{2}\cos x $$

である。よって、極値は

$$ -\sin x+\frac{1}{2}\cos x=0 $$

すなわち

$$ \tan x=\frac{1}{2} $$

を満たす $x$ で生じる。

さらに、

$$ g''(x)=-\cos x-\frac{1}{2}\sin x $$

であり、$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\geqq 0,\ \sin x\geqq 0$ だから

$$ g''(x)\leqq 0 $$

である。したがって、この区間で $g(x)$ は上に凸であり、臨界点では最大値をとる。

$x$ が $\tan x=\dfrac{1}{2}$ を満たすとき、直角三角形を考えれば

$$ \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \sin x=\frac{1}{\sqrt{5}} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} g(x) &=1+\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &=1+\frac{5}{2\sqrt{5}} \\ &=1+\frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned} $$

となる。これが最大値である。

一方、最小値は端点で比較すればよい。

**(i)**

$x=0$ のとき

$$ g(0)=1+1+0=2 $$

**(ii)**

$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+0+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} $$

よって最小値は

$$ \frac{3}{2} $$

である。

解説

この問題は $\sin\theta\cos\theta$ と $\cos^2\theta$ が混在しているので、倍角公式で $2\theta$ の式にそろえるのが基本方針である。

その後は $1+\cos x+\dfrac{1}{2}\sin x$ の最大・最小を見るだけである。 微分を使えば確実に処理できるし、$\cos x,\sin x$ の一次結合として見る発想でも同じ結論に至る。

答え

最大値は

$$ 1+\frac{\sqrt{5}}{2} $$

最小値は

$$ \frac{3}{2} $$

である。

なお、最大値は

$$ 2\theta=\arctan \frac{1}{2} $$

すなわち

$$ \theta=\frac{1}{2}\arctan \frac{1}{2} $$

のときにとり、最小値は

$$ \theta=\frac{\pi}{4} $$

のときにとる。