解説

方針・初手

$f(\theta)$ には $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ が現れるので、まず

$$ x=\sin\theta+\cos\theta $$

とおく。すると

$$ (\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta $$

より $\sin\theta\cos\theta$ も $x$ で表せる。これで $f(\theta)$ を $x$ の2次関数に直し、そのうえで $x$ のとりうる範囲を調べればよい。

解法1

$x=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、

$$ x^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta =1+2\sin\theta\cos\theta $$

であるから、

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{x^2-1}{2} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=\sin\theta\cos\theta-\cos\theta-\sin\theta+2 \\ &=\frac{x^2-1}{2}-x+2 \\ &=\frac{x^2-2x+3}{2}. \end{aligned} $$

よって

$$ g(x)=\frac{x^2-2x+3}{2} $$

である。

次に $x=\sin\theta+\cos\theta$ の範囲を求める。

$$ x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

であり、$0\leqq\theta\leqq\pi$ だから

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

となる。このとき $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ の最大値は $1$、最小値は $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$$ -1\leqq x\leqq \sqrt{2} $$

である。

ここで

$$ g(x)=\frac{x^2-2x+3}{2} =\frac{(x-1)^2+2}{2} $$

より、$g(x)$ は上に開く2次関数で、最小値は $x=1$ のとき

$$ g(1)=1 $$

である。

また、最大値は区間の端で調べればよく、

$$ g(-1)=\frac{1+2+3}{2}=3, \qquad g(\sqrt{2})=\frac{2-2\sqrt{2}+3}{2}=\frac{5-2\sqrt{2}}{2} $$

だから最大値は $3$ である。

したがって

$$ 1\leqq g(x)\leqq 3 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta+\cos\theta=x$ とおいたときに $\sin\theta\cos\theta$ まで $x$ で表せることにある。恒等式

$$ (\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta $$

を使うのが典型処理である。

その後は、$x$ の範囲を正しく求めることが重要である。$g(x)$ 自体はただの2次関数なので、頂点と区間の端を見れば値の範囲が決まる。

答え

$$ \text{[ア] } \frac{x^2-2x+3}{2},\qquad \text{[イ] } 1,\qquad \text{[ウ] } 3 $$

すなわち

$$ g(x)=\frac{x^2-2x+3}{2},\qquad 1\leqq g(x)\leqq 3 $$