解説

方針・初手

$f(\theta)$ は $\sin 2\theta,\cos 2\theta$ でまとめると整理しやすい。

特に

$$ 2\sin \theta \cos \theta=\sin 2\theta,\qquad 2\cos^2\theta-1=\cos 2\theta $$

であり、さらに

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

とおくと、$t^2$ を用いて $\sin 2\theta \cos 2\theta$ も表せる。これにより $f(\theta)$ を $t$ の二次式に直せる。

解法1

まず

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

のとりうる範囲を求める。

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta =\sqrt{2}\sin \left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

となる。これが （1） の答えである。

次に $f(\theta)$ を変形する。

与式は

$$ f(\theta)=6\sin \theta \cos \theta-8\sin^3\theta \cos \theta+2\cos^2\theta-1 $$

である。

ここで

$$ 6\sin \theta \cos \theta=3\sin 2\theta $$

また

$$ 8\sin^3\theta \cos \theta =4\sin^2\theta \cdot 2\sin \theta \cos \theta =4\sin^2\theta \sin 2\theta $$

より、

$$ f(\theta)=3\sin 2\theta-4\sin^2\theta \sin 2\theta+\cos 2\theta $$

となる。

さらに

$$ \cos 2\theta=1-2\sin^2\theta $$

より

$$ 3-4\sin^2\theta=1+2\cos 2\theta $$

であるから、

$$ f(\theta)=\sin 2\theta(1+2\cos 2\theta)+\cos 2\theta $$

すなわち

$$ f(\theta)=\sin 2\theta+\cos 2\theta+2\sin 2\theta \cos 2\theta $$

となる。

ここで

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

より

$$ t^2=\sin^2 2\theta+\cos^2 2\theta+2\sin 2\theta \cos 2\theta =1+2\sin 2\theta \cos 2\theta $$

したがって

$$ 2\sin 2\theta \cos 2\theta=t^2-1 $$

である。これを代入すると

$$ f(\theta)=t+(t^2-1)=t^2+t-1 $$

となる。これが （2） の答えである。

最後に

$$ f(\theta)=t^2+t-1 \qquad \left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right) $$

の最大値を求める。

この二次関数は上に開くので、区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ での最大値は端点でとる。

$$ f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}-1=2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2} $$

$$ f(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^2-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}-1=1-\sqrt{2} $$

よって最大値は

$$ 1+\sqrt{2} $$

である。これが （3） の答えである。

解説

この問題の要点は、与式を無理に $\sin \theta,\cos \theta$ のままで扱わず、$\sin 2\theta,\cos 2\theta$ に移すことである。

さらに

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

とおいたあと、

$$ t^2=1+2\sin 2\theta \cos 2\theta $$

を使えば、積の項も $t$ だけで表せる。ここまで整理できれば、あとは区間上の二次関数の最大値を求めるだけである。

答え

**(1)**

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ f(\theta)=t^2+t-1 $$

**(3)**

$$ f(\theta)\text{ の最大値は }1+\sqrt{2} $$