解説

方針・初手

まず $f(x)$ を三角関数の合成で単純化する。すると $x$ の動く範囲に対応して、合成後の角の範囲も具体的に追えるので、$f(x)$ の値域が直接求まる。

次に $g(x)$ は式をよく見ると、$f(x)$ を用いて二次式にまとめられる。したがって、$f(x)$ の値域を変数変換して $g(x)$ の値域に移せばよい。

解法1

$f(x)$ を合成すると、

$$ f(x)=\sqrt{3}\sin x+3\cos x =2\sqrt{3}\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}2\cos x\right) =2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) $$

となる。

ここで

$$ 0\le x\le \pi $$

より、

$$ \frac{\pi}{3}\le x+\frac{\pi}{3}\le \frac{4\pi}{3} $$

である。したがって、$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ の値域を考えればよい。

区間 $\left[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$ において、$\sin\theta$ の最大値は $\theta=\frac{\pi}{2}$ のときの $1$ であり、最小値は右端 $\theta=\frac{4\pi}{3}$ のときの $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。よって、

$$ -\frac{\sqrt{3}}{2}\le \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1 $$

となるから、

$$ -3\le f(x)\le 2\sqrt{3} $$

である。

次に $g(x)$ を整理する。

$$ \begin{aligned} g(x) &=3\sin^2x+6\sqrt{3}\sin x\cos x+9\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x-6\cos x \\ &=(\sqrt{3}\sin x+3\cos x)^2-2(\sqrt{3}\sin x+3\cos x) \\ &=f(x)^2-2f(x) \end{aligned} $$

ここで $t=f(x)$ とおくと、

$$ -3\le t\le 2\sqrt{3} $$

かつ

$$ g(x)=t^2-2t=(t-1)^2-1 $$

である。

この二次関数は上に開く放物線であり、頂点は $t=1$ である。$1$ は区間 $[-3,2\sqrt{3}]$ に含まれるので、最小値は

$$ g_{\min}=(1-1)^2-1=-1 $$

である。

最大値は区間の端で比較すればよく、

$$ g(-3)=(-3)^2-2(-3)=15 $$

$$ g(2\sqrt{3})=(2\sqrt{3})^2-2\cdot 2\sqrt{3}=12-4\sqrt{3} $$

であるから、最大値は $15$ である。

したがって、

$$ -1\le g(x)\le 15 $$

となる。

解説

この問題の本質は、$f(x)$ をそのまま追いかけるのではなく、まず合成して角の範囲に落とすことにある。単に振幅だけ見て $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$ としてしまうと誤りであり、$x$ の範囲が $0\le x\le \pi$ に制限されていることを必ず反映しなければならない。

また、$g(x)$ は一見複雑であるが、前半がちょうど $f(x)^2$ になっていることに気づけば一気に簡単になる。複雑な式を新しい文字でまとめ直すのが有効な典型例である。

答え

**(i)**

$f(x)$ がとりうる値の範囲は

$$ -3\le f(x)\le 2\sqrt{3} $$

である。

**(ii)**

$g(x)$ がとりうる値の範囲は

$$ -1\le g(x)\le 15 $$

である。