解説

方針・初手

$f(\theta)$ には $\sin \theta+\cos \theta$ や $\sin \theta \cos \theta$ が自然に現れるので，

$$ t=\sin \theta+\cos \theta $$

とおいて $t$ の式に直すのがよい。さらに

$$ (\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2\sin \theta \cos \theta $$

を用いれば，$\sin \theta \cos \theta$ も $t$ で表せる。

解法1

まず，

$$ \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right) $$

であるから，

$$ [1]=\sqrt{2},\qquad [2]=\frac{\pi}{4} $$

である。

ここで $\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \dfrac{3\pi}{2}$ より，

$$ \frac{3\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{7\pi}{4} $$

となる。この区間で $\sin$ の値域は

$$ -1\leqq \sin \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)\leqq \frac{\sqrt{2}}{2} $$

であるから，

$$ -\sqrt{2}\leqq t\leqq 1 $$

となる。したがって，

$$ [3]=-\sqrt{2}\leqq t\leqq 1 $$

である。

次に，

$$ (\sin \theta+\cos \theta)^2=\sin^2 \theta+2\sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta =1+2\sin \theta \cos \theta $$

より，

$$ [4]=2 $$

である。

また，恒等式

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $$

を $a=\sin \theta,\ b=\cos \theta$ に適用すると，

$$ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta =(\sin \theta+\cos \theta)^3-3\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta) $$

となるので，

$$ [5]=3 $$

である。

ここで

$$ t^2=(\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2\sin \theta \cos \theta $$

より，

$$ \sin \theta \cos \theta=\frac{t^2-1}{2} $$

である。これを用いて $f(\theta)$ を $t$ で表すと，

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=2(\sin^3 \theta+\cos^3 \theta)-8\sin \theta \cos \theta \\ &=2\left( t^3-3t\sin \theta \cos \theta \right)-8\sin \theta \cos \theta \\ &=2t^3-6\cdot \frac{t^2-1}{2}t-8\cdot \frac{t^2-1}{2} \\ &=2t^3-3t(t^2-1)-4(t^2-1) \\ &=-t^3-4t^2+3t+4 \end{aligned} $$

したがって，

$$ [6]=-t^3-4t^2+3t+4 $$

である。

あとは

$$ g(t)=-t^3-4t^2+3t+4 \qquad \left( -\sqrt{2}\leqq t\leqq 1 \right) $$

の最大値を求めればよい。

微分すると，

$$ g'(t)=-3t^2-8t+3=-(3t-1)(t+3) $$

である。区間 $-\sqrt{2}\leqq t\leqq 1$ での臨界点は

$$ t=\frac{1}{3} $$

のみである。

そこで値を調べると，

$$ g\left( \frac{1}{3} \right) =-\frac{1}{27}-4\cdot \frac{1}{9}+3\cdot \frac{1}{3}+4 =\frac{122}{27} $$

また，

$$ g(1)=2,\qquad g(-\sqrt{2})=-4-\sqrt{2} $$

であるから，最大値は

$$ \frac{122}{27} $$

となる。よって，

$$ [7]=\frac{122}{27} $$

である。

解説

この問題の要点は，三角関数を直接扱うのではなく，

$$ t=\sin \theta+\cos \theta $$

とおいて 1 変数の最大値問題に落とし込むことである。

特に，

$$ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=(\sin \theta+\cos \theta)^3-3\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta) $$

と

$$ (\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2\sin \theta \cos \theta $$

の 2 つを組み合わせる流れが典型である。また，$\theta$ の範囲から $t$ の範囲を正確に出すことも重要である。

答え

$$ [1]=\sqrt{2},\qquad [2]=\frac{\pi}{4},\qquad [3]=-\sqrt{2}\leqq t\leqq 1, $$

$$ [4]=2,\qquad [5]=3,\qquad [6]=-t^3-4t^2+3t+4,\qquad [7]=\frac{122}{27} $$

したがって，$f(\theta)$ の最大値は

$$ \frac{122}{27} $$

である。