解説

方針・初手

与えられた式には $\sin\theta\cos\theta$ や $\cos^2\theta$ が含まれているので、まず $2\theta$ の三角関数に直すのが自然である。

特に

$$ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\qquad \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 $$

を用いると、$f(\theta)$ を $\sin 2\theta,\cos 2\theta$ で表せる。さらに $t=\sin 2\theta+\cos 2\theta$ とおいているので、

$$ (\sin 2\theta+\cos 2\theta)^2 $$

を使えば $f(\theta)$ を $t$ のみの式にまとめられる。

解法1

まず

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

とおく。

**(1)**

$t$ のとりうる値の範囲を求める。

和を合成すると

$$ \sin 2\theta+\cos 2\theta =\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。したがって

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

となる。

次に （2） $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。

与式

$$ f(\theta)=6\sin\theta\cos\theta-8\sin^3\theta\cos\theta+2\cos^2\theta-1 $$

に対して、各項を変形する。

まず

$$ 6\sin\theta\cos\theta=3\sin 2\theta $$

である。

また

$$ 8\sin^3\theta\cos\theta =4\sin^2\theta\cdot (2\sin\theta\cos\theta) =4\sin^2\theta\sin 2\theta $$

であり、

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2} $$

より

$$ 8\sin^3\theta\cos\theta =4\cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2}\sin 2\theta =2(1-\cos 2\theta)\sin 2\theta $$

となる。さらに

$$ 2\cos^2\theta-1=\cos 2\theta $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=3\sin 2\theta-2(1-\cos 2\theta)\sin 2\theta+\cos 2\theta \\ &=\sin 2\theta+\cos 2\theta+2\sin 2\theta\cos 2\theta \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

なので、

$$ t^2=(\sin 2\theta+\cos 2\theta)^2 =\sin^2 2\theta+\cos^2 2\theta+2\sin 2\theta\cos 2\theta =1+2\sin 2\theta\cos 2\theta $$

である。よって

$$ 2\sin 2\theta\cos 2\theta=t^2-1 $$

となるから、

$$ f(\theta)=t+(t^2-1)=t^2+t-1 $$

である。

最後に （3） $f(\theta)$ の最大値を求める。

（1） より

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

であり、（2） より

$$ f(\theta)=t^2+t-1 $$

である。この二次関数は上に開く放物線であるから、区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ における最大値は端点で生じる。

したがって

$$ f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}-1=2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2} $$

$$ f(-\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}-1=1-\sqrt{2} $$

より、最大値は

$$ 1+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\theta$ の式をそのまま扱わず、$\sin 2\theta,\cos 2\theta$ に統一することである。

特に

$$ t=\sin 2\theta+\cos 2\theta $$

とおいたとき、

$$ t^2=1+2\sin 2\theta\cos 2\theta $$

が使えることに気づけば、$f(\theta)$ は $t$ の二次式に落ちる。すると、あとは区間上での二次関数の最大値を調べるだけになる。

答え

**(1)**

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ f(\theta)=t^2+t-1 $$

**(3)**

最大値は

$$ 1+\sqrt{2} $$