解説

方針・初手

$y$ は $\sin \omega-\cos \omega$ を用いてまとめられる形である。したがって

$$ t=\sin \omega-\cos \omega $$

とおき、まず $t$ の取り得る範囲を調べる。次に $y$ を $t$ のみの式に直し、その三次関数の最大・最小を求めればよい。

解法1

まず

$$ t=\sin \omega-\cos \omega =\sqrt{2}\sin \left(\omega-\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \omega \leqq \pi $$

より

$$ 0\leqq \omega-\frac{\pi}{4}\leqq \frac{3\pi}{4} $$

となる。この区間で $\sin \left(\omega-\frac{\pi}{4}\right)$ の値域は $0$ 以上 $1$ 以下であるから、

$$ 0\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

である。

次に $y$ を変形する。

$$ \begin{aligned} y &=3\sin^2\omega\cos\omega-3\sin\omega\cos^2\omega+\sin\omega-\cos\omega \\ &=(\sin\omega-\cos\omega)(3\sin\omega\cos\omega+1) \end{aligned} $$

ここで

$$ (\sin\omega-\cos\omega)^2 =\sin^2\omega-2\sin\omega\cos\omega+\cos^2\omega =1-2\sin\omega\cos\omega $$

より

$$ \sin\omega\cos\omega=\frac{1-t^2}{2} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} y &=t\left(3\cdot \frac{1-t^2}{2}+1\right) \\ &=t\left(\frac{3-3t^2}{2}+1\right) \\ &=\frac{-3t^3+5t}{2} \end{aligned} $$

となる。

よって、$0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ において

$$ y=\frac{-3t^3+5t}{2} $$

の最大・最小を求めればよい。

$f(t)=\dfrac{-3t^3+5t}{2}$ とおくと、

$$ f'(t)=\frac{-9t^2+5}{2} $$

であるから、

$$ f'(t)=0 \iff t=\frac{\sqrt{5}}{3} $$

を得る。ただし $0\leqq t\leqq \sqrt{2}$ なので、この値は区間内に含まれる。

ここで

$$ f'(t)>0 \quad \left(0\leqq t<\frac{\sqrt{5}}{3}\right), \qquad f'(t)<0 \quad \left(\frac{\sqrt{5}}{3}<t\leqq \sqrt{2}\right) $$

であるから、$t=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ で最大値をとる。

各値を計算すると、

$$ f(0)=0 $$

$$ f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) =\frac{-3\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3+5\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}{2} =\frac{5\sqrt{5}}{9} $$

$$ f(\sqrt{2}) =\frac{-3(\sqrt{2})^3+5\sqrt{2}}{2} =\frac{-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

となる。

したがって、最大値は $\dfrac{5\sqrt{5}}{9}$、最小値は $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ である。

解説

この問題の要点は、与式をそのまま微分するのではなく、

$$ t=\sin\omega-\cos\omega $$

という置き換えで一変数の三次関数に直すことである。

特に

$$ (\sin\omega-\cos\omega)^2=1-2\sin\omega\cos\omega $$

から $\sin\omega\cos\omega$ を $t$ で表せることが決定的である。三角関数の最大・最小でも、このように「まとまり」を見つけて置き換える処理は典型である。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=0,\ \text{イ}=\sqrt{2}} $$

$$ \boxed{\text{ウ}=\frac{-3t^3+5t}{2}} $$

$$ \boxed{\text{エ}=\frac{5\sqrt{5}}{9},\ \text{オ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}} $$

すなわち、関数 $①$ は最大値

$$ \frac{5\sqrt{5}}{9} $$

最小値

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

をとる。