解説

方針・初手

$f(x)$ は $\sin x,\cos x$ の三次式であるが、$\sin x+\cos x=t$ とおくと $\sin x\cos x$ や $\sin^3 x+\cos^3 x$ を $t$ で表せる。

したがって、まず

$$ (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x $$

から $\sin x\cos x$ を $t$ で表し、ついで

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x) $$

を用いて整理する。

解法1

$t=\sin x+\cos x$ とおく。

まず

$$ t^2=(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x $$

より、

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

である。

また、

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x) =t^3-3t\sin x\cos x $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} f(x) &=2(\sin^3 x+\cos^3 x)+3\sin x\cos x-3\sin x-3\cos x+2 \\ &=2\left(t^3-3t\sin x\cos x\right)+3\sin x\cos x-3t+2. \end{aligned} $$

ここに

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=2t^3-6t\cdot \frac{t^2-1}{2}+3\cdot \frac{t^2-1}{2}-3t+2 \\ &=2t^3-3t(t^2-1)+\frac{3}{2}(t^2-1)-3t+2 \\ &=2t^3-3t^3+3t+\frac{3}{2}t^2-\frac{3}{2}-3t+2 \\ &=-t^3+\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2}. \end{aligned} $$

よって （1） は

$$ f(x)=-t^3+\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2} $$

である。

次に、$t=\sin x+\cos x$ の値域を求める。

$$ t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

より、

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

である。

したがって、$f(x)$ の最大・最小は

$$ g(t)=-t^3+\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2} \qquad (-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}) $$

の最大・最小を調べればよい。

微分すると

$$ g'(t)=-3t^2+3t=3t(1-t) $$

であるから、極値の候補は

$$ t=0,\ 1 $$

および端点

$$ t=\pm \sqrt{2} $$

である。

それぞれでの値は

$$ g(0)=\frac{1}{2}, \qquad g(1)=1, $$

$$ g(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}+3+\frac{1}{2} =\frac{7}{2}-2\sqrt{2}, $$

$$ g(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}+3+\frac{1}{2} =\frac{7}{2}+2\sqrt{2} $$

である。

よって

$$ \max f(x)=\frac{7}{2}+2\sqrt{2}, \qquad \min f(x)=\frac{1}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\sin x+\cos x=t$ とおいたときに、$\sin x\cos x$ が

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

と表せることである。

これにより、三次式であっても $f(x)$ を $t$ だけの三次関数に落とし込める。あとは $t=\sin x+\cos x$ の値域が

$$ -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} $$

であることを使って、通常の関数の最大最小の問題として処理すればよい。

答え

**(1)**

$$ f(x)=-t^3+\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2} \qquad (t=\sin x+\cos x) $$

**(2)**

$$ \text{最大値 } \frac{7}{2}+2\sqrt{2}, \qquad \text{最小値 } \frac{1}{2} $$