解説

方針・初手

まず条件 $-\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta\leqq 1$ を三角関数の合成で整理して、$\theta$ の範囲を確定する。

その後、$x=\sin\theta$ とおいて $y$ を $x$ の3次式に直し、定義域内で最大値・最小値を調べる。

解法1

条件式を変形すると、

$$ \begin{aligned} -\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta &= 2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ 2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\leqq 1 $$

すなわち

$$ \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\leqq \frac{1}{2} $$

となる。

ここで $0\leqq \theta<2\pi$ より

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \theta+\frac{\pi}{3}<\frac{7\pi}{3} $$

である。$\cos t\leqq \dfrac12$ となるのは、この範囲では

$$ \frac{\pi}{3}\leqq t\leqq \frac{5\pi}{3} $$

であるから、

$$ \frac{\pi}{3}\leqq \theta+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{5\pi}{3} $$

より

$$ 0\leqq \theta\leqq \frac{4\pi}{3} $$

となる。

次に $x=\sin\theta$ とおくと、$\theta$ の範囲が $0\leqq \theta\leqq \dfrac{4\pi}{3}$ であるから、

$$ -\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq 1 $$

である。

与式

$$ y=2\sin\theta-2\sin\theta\cos2\theta-3\cos^2\theta+3 $$

に対し、$x=\sin\theta$、$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$、$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} y &=2x-2x(1-2x^2)-3(1-x^2)+3 \\ &=2x-2x+4x^3-3+3x^2+3 \\ &=4x^3+3x^2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq 1$ における

$$ f(x)=4x^3+3x^2 $$

の最大値・最小値を求めればよい。

微分すると、

$$ f'(x)=12x^2+6x=6x(2x+1) $$

であるから、停留点は

$$ x=0,\ -\frac12 $$

である。

よって、端点と停留点での値を調べる。

$$ \begin{aligned} f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 &= -\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac94 \\ &=\frac{9-6\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} f\left(-\frac12\right) &= 4\left(-\frac18\right)+3\left(\frac14\right) \\ &=\frac14 \end{aligned} $$

$$ f(0)=0 $$

$$ f(1)=4+3=7 $$

したがって、

$$ \max y=7,\qquad \min y=\frac{9-6\sqrt{3}}{4} $$

である。

解説

最初の不等式は、そのまま扱うよりも $\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta$ を合成して $2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ とみるのが典型である。

また、$y$ は $\sin\theta$ と $\cos2\theta,\cos^2\theta$ を含むが、$\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ を使えば $\sin\theta$ だけの式にできる。すると1変数関数の最大・最小の問題になるので、微分して端点と停留点を調べれば確実である。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=0},\qquad \boxed{\text{キ}=\frac{4\pi}{3}} $$

$$ \boxed{\text{ク}=-\frac{\sqrt{3}}{2}},\qquad \boxed{\text{ケ}=1} $$

$$ \boxed{\text{コ}=4x^3+3x^2} $$

$$ \boxed{\text{サ}=7},\qquad \boxed{\text{シ}=\frac{9-6\sqrt{3}}{4}} $$

したがって、

$$ 0\leqq \theta\leqq \frac{4\pi}{3} $$

の範囲における最大値は

$$ 7 $$

最小値は

$$ \frac{9-6\sqrt{3}}{4} $$

である。