解説

方針・初手

$x=\cos \theta$ とおくと，$0<\theta<\pi$ より $-1<x<1$ である。 $\cos 3\theta,\cos 2\theta$ を $x$ の整式で表せば，$f(\theta)$ は $x$ の三次式，$g(\theta)$ は $x$ の二次式になる。

さらに，$g(\theta)$ は下に凸な二次式になるので，$0<\theta<\pi$ において最小値 $0$ をとる条件は，その頂点が $-1<x<1$ にあり，頂点の値が $0$ であることに言い換えられる。

解法1

$x=\cos \theta$ とおくと，三倍角・倍角の公式より

$$ \cos 3\theta=4x^3-3x,\qquad \cos 2\theta=2x^2-1 $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=\cos 3\theta+a\cos 2\theta+b\cos \theta\\ &=(4x^3-3x)+a(2x^2-1)+bx\\ &=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a \end{aligned} $$

となる。よって，$f(\theta)$ は $x=\cos \theta$ の整式として

$$ f(\theta)=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a $$

と表される。

また，

$$ f(0)=\cos 0+a\cos 0+b\cos 0=1+a+b $$

であるから，

$$ \begin{aligned} f(\theta)-f(0) &=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a-(1+a+b)\\ &=4x^3+2ax^2+(b-3)x-(2a+b+1) \end{aligned} $$

となる。ここで $x=1$ のとき $f(\theta)-f(0)=0$ であるから，この三次式は $x-1$ を因数にもつ。実際，

$$ f(\theta)-f(0) =(x-1){4x^2+(2a+4)x+(b+2a+1)} $$

と因数分解できる。したがって，

$$ \begin{aligned} g(\theta) &=\frac{f(\theta)-f(0)}{\cos \theta-1}\\ &=\frac{f(\theta)-f(0)}{x-1}\\ &=4x^2+(2a+4)x+(b+2a+1) \end{aligned} $$

である。

ゆえに，

$$ g(\theta)=4x^2+(2a+4)x+(b+2a+1) $$

と表される。

次に，$g(\theta)$ が $0<\theta<\pi$ で最小値 $0$ をとる条件を求める。 $-1<x<1$ において

$$ q(x)=4x^2+(2a+4)x+(b+2a+1) $$

とおくと，$g(\theta)=q(x)$ である。これを平方完成すると，

$$ \begin{aligned} q(x) &=4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2+b+a-\frac{a^2}{4} \end{aligned} $$

となる。

したがって，頂点の $x$ 座標は

$$ x_0=-\frac{a+2}{4} $$

であり，そのときの値は

$$ q(x_0)=b+a-\frac{a^2}{4} $$

である。

$q(x)$ は下に凸であるから，開区間 $(-1,1)$ で最小値を実際にとるためには，頂点が区間内に存在しなければならない。よって，

$$ -1<-\frac{a+2}{4}<1 $$

すなわち

$$ -6<a<2 $$

が必要である。

さらに，その最小値が $0$ であるためには

$$ q(x_0)=0 $$

すなわち

$$ b+a-\frac{a^2}{4}=0 $$

でなければならない。したがって，

$$ b=\frac{a^2}{4}-a $$

である。

以上より，求める条件は

$$ -6<a<2,\qquad b=\frac{a^2}{4}-a $$

である。

このとき

$$ g(\theta)=4\left(x+\frac{a+2}{4}\right)^2\ge 0 $$

となり，$x=-\dfrac{a+2}{4}\in(-1,1)$ のとき $g(\theta)=0$ となるので，確かに最小値 $0$ をとる。

また，条件を満たす点 $(a,b)$ の軌跡は

$$ b=\frac{a^2}{4}-a=\frac{(a-2)^2}{4}-1 \qquad (-6<a<2) $$

であり，$ab$ 平面において，上に開く放物線 $b=\dfrac{a^2}{4}-a$ のうち

$$ -6<a<2 $$

に対応する部分である。端点は

$$ (-6,15),\qquad (2,-1) $$

であるが，いずれも含まれない。

解説

この問題の本質は，三角関数の問題を $x=\cos \theta$ によって整式の問題へ移すことである。 特に $0<\theta<\pi$ から $-1<x<1$ が得られるので，最小値の議論は「二次関数が開区間で最小値をとる条件」に帰着する。

注意すべき点は，定義域が閉区間 $[-1,1]$ ではなく開区間 $(-1,1)$ であることである。したがって，頂点が $x=\pm 1$ にある場合は値 $0$ に近づいても最小値をとらない。このため，不等式は

$$ -6<a<2 $$

と両端を含まない形になる。

答え

**(1)**

$x=\cos \theta$ とおくと，

$$ f(\theta)=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a $$

$$ g(\theta)=4x^2+(2a+4)x+(b+2a+1) $$

である。

**(2)**

$g(\theta)$ が $0<\theta<\pi$ で最小値 $0$ をとるための条件は

$$ -6<a<2,\qquad b=\frac{a^2}{4}-a $$

である。

したがって，条件を満たす点 $(a,b)$ の軌跡は

$$ b=\frac{a^2}{4}-a \qquad (-6<a<2) $$

すなわち，放物線 $b=\dfrac{a^2}{4}-a$ のうち，端点 $(-6,15)$，$(2,-1)$ を除いた部分である。