解説

方針・初手

$t=\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、まず $t^2$ を展開して $f(\theta)$ を $t$ の二次式に直せる。さらに

$$ t=2\sin(\theta+30^\circ) $$

と合成すると、$\theta$ の範囲から $t$ の範囲と、各 $t$ の値に対応する $\theta$ の個数が分かる。これにより $f(\theta)=0$ は $t=0$ または $t=2a$ に帰着できる。

解法1

**(1)**

$$ \begin{aligned} t^2 &=(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)^2 \\ &=3\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta \\ &=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta \\ &=1+(1-\cos2\theta)+\sqrt3\sin2\theta \\ &=2-\cos2\theta+\sqrt3\sin2\theta. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} 2t^2-4at &=2(2-\cos2\theta+\sqrt3\sin2\theta)-4a(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta) \\ &=2\sqrt3\sin2\theta-2\cos2\theta-4a(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta)+4 \\ &=f(\theta). \end{aligned} $$

よって

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

となる。

**(2)**

$t$ を合成すると

$$ t=\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\sin(\theta+30^\circ) $$

である。ここで $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ より

$$ 30^\circ\leqq\theta+30^\circ\leqq210^\circ $$

である。

したがって、$\sin(\theta+30^\circ)$ は区間 $[30^\circ,210^\circ]$ で最大値 $1$、最小値 $-\dfrac12$ をとるから、

$$ -1\leqq t\leqq2 $$

である。

**(3)**

（1） より

$$ f(\theta)=2t^2-4at=2t(t-2a) $$

であるから、方程式 $f(\theta)=0$ は

$$ t=0 \quad \text{または} \quad t=2a $$

と同値である。

まず $t=0$ は

$$ 2\sin(\theta+30^\circ)=0 $$

すなわち

$$ \theta+30^\circ=180^\circ $$

より

$$ \theta=150^\circ $$

のみであり、常に1個の解を与える。

次に、$t=c$ の解の個数を調べる。$t=2\sin(\theta+30^\circ)$ で、$\theta+30^\circ\in[30^\circ,210^\circ]$ だから、

• $-1\leqq c<1$ のとき、$\theta$ は1個
• $c=1$ のとき、$\theta=0^\circ,120^\circ$ の2個
• $1<c<2$ のとき、$\theta$ は2個
• $c=2$ のとき、$\theta=60^\circ$ の1個
• $c<-1$ または $c>2$ のとき、$\theta$ は0個

となる。

ここで $c=2a$ とおく。

**(i)**

$a<-\dfrac12$ または $a>1$ のとき

$$ 2a<-1 \quad \text{または} \quad 2a>2 $$

であるから、$t=2a$ は解をもたない。よって $t=0$ の1個のみである。

**(ii)**

$-\dfrac12\leqq a<0$ のとき

$$ -1\leqq2a<0 $$

であるから、$t=2a$ は1個の解をもつ。$t=0$ の解とは異なるので、解は合計2個である。

**(iii)**

$a=0$ のとき

$$ f(\theta)=2t^2 $$

となり、$t=0$ のみであるから、解は1個である。

**(iv)**

$0<a<\dfrac12$ のとき

$$ 0<2a<1 $$

であるから、$t=2a$ は1個の解をもつ。したがって解は合計2個である。

**(v)**

$\dfrac12\leqq a<1$ のとき

$\dfrac12<a<1$ では $1<2a<2$ なので、$t=2a$ は2個の解をもつ。また $a=\dfrac12$ では $t=1$ となり、これも2個の解をもつ。したがっていずれの場合も、$t=0$ の1個と合わせて解は合計3個である。

**(vi)**

$a=1$ のとき

$$ 2a=2 $$

であり、$t=2$ は1個の解をもつ。したがって解は合計2個である。

以上より、方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & \left(a<-\dfrac12,\ a=0,\ a>1\right),\\[4pt] 2 & \left(-\dfrac12\leqq a<0,\ 0<a<\dfrac12,\ a=1\right),\\[4pt] 3 & \left(\dfrac12\leqq a<1\right) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$ を新しい文字 $t$ とおくことで、三角関数の式を二次式に落とすことである。さらに $t=2\sin(\theta+30^\circ)$ と合成すると、$t$ の範囲だけでなく、各 $t$ の値に対して $\theta$ が何個対応するかまで分かる。

（3） では、単に $2a$ が範囲 $[-1,2]$ に入るかどうかを見るだけでは不十分である。同じ範囲内でも、$2a<1$ のときは1個、$1\leqq2a<2$ のときは2個、$2a=2$ のときは1個と、解の個数が変わる点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

**(2)**

$$ -1\leqq t\leqq2 $$

**(3)**

方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & \left(a<-\dfrac12,\ a=0,\ a>1\right),\\[4pt] 2 & \left(-\dfrac12\leqq a<0,\ 0<a<\dfrac12,\ a=1\right),\\[4pt] 3 & \left(\dfrac12\leqq a<1\right) \end{cases} $$

である。