解説

方針・初手

$\sin^2 x,\ \sin x\cos x,\ \cos^2 x$ が混在しているので、倍角公式を用いて $\sin 2x,\ \cos 2x$ の形にまとめるのが自然である。そうすると、三角関数の合成によって値域がすぐに分かる。

解法1

与式は

$$ y=\sin^2 x+4\sin x\cos x+5\cos^2 x $$

である。

ここで倍角公式

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad 2\sin x\cos x=\sin 2x $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} y &=\frac{1-\cos 2x}{2}+4\sin x\cos x+5\cdot\frac{1+\cos 2x}{2} \\ &=\frac{1-\cos 2x}{2}+2\sin 2x+\frac{5+5\cos 2x}{2} \\ &=3+2\sin 2x+2\cos 2x \end{aligned} $$

となる。

さらに、$2\sin 2x+2\cos 2x$ を合成すると、

$$ 2\sin 2x+2\cos 2x =2\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、

$$ y=3+2\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) $$

と表せる。

$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ の値域は $-1\leqq \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\leqq 1$ であるので、

$$ 3-2\sqrt{2}\leqq y\leqq 3+2\sqrt{2} $$

となる。

したがって、最大値は $3+2\sqrt{2}$、最小値は $3-2\sqrt{2}$ である。

解説

この問題の要点は、$\sin^2 x,\ \cos^2 x,\ \sin x\cos x$ をそのまま扱わず、倍角公式で $2x$ の一次式に直すことである。すると $a\sin 2x+b\cos 2x$ の形になり、三角関数の合成によって値域がただちに求まる。

途中で無理に $\sin x,\cos x$ を別々に処理しようとすると煩雑になりやすい。二乗と積が同時に出てきたら、まず倍角公式を疑うのが典型である。

答え

最大値は

$$ 3+2\sqrt{2} $$

最小値は

$$ 3-2\sqrt{2} $$

である。