解説

方針・初手

（1） は $t=\sin x-\cos x$ を三角関数の合成で表せばよい。

（2） は （1） で置いた $t=\sin x-\cos x$ をそのまま用いるのが最も自然である。 $(\sin x-\cos x)^2$ を展開すると $\sin 2x$ と結びつくので、$y$ を $t$ の2次式に直して値域を調べる。

解法1

まず

$$ t=\sin x-\cos x $$

を合成すると

$$ t=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) $$

となる。

ここで $0\leqq x\leqq \pi$ より

$$ -\frac{\pi}{4}\leqq x-\frac{\pi}{4}\leqq \frac{3\pi}{4} $$

である。 この区間における $\sin \theta$ の値域は

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq \sin \theta \leqq 1 $$

であるから、

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

を得る。 これで （1） の答えが出る。

次に （2） を考える。

$$ y=2\sin 2x-2(\sin x-\cos x)+1 $$

であり、$t=\sin x-\cos x$ とおくと

$$ t^2=(\sin x-\cos x)^2 $$

より

$$ t^2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x =1-2\sin x\cos x =1-\sin 2x $$

したがって

$$ \sin 2x=1-t^2 $$

である。これを $y$ に代入すると

$$ y=2(1-t^2)-2t+1 =3-2t^2-2t $$

となる。さらに平方完成して

$$ y=-2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{2} $$

を得る。

ここで $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ であるから、この2次関数は上に凸であり、最大値は頂点でとる。頂点は

$$ t=-\frac{1}{2} $$

であり、これは区間 $[-1,\sqrt{2}]$ に含まれるので、

$$ y_{\max}=\frac{7}{2} $$

である。

最小値は区間の端で比較すればよい。

$$ y(-1)=3-2\cdot 1-2(-1)=3 $$

$$ y(\sqrt{2})=3-2\cdot 2-2\sqrt{2}=-1-2\sqrt{2} $$

よって最小値は

$$ -1-2\sqrt{2} $$

である。

したがって $y$ の値域は

$$ -1-2\sqrt{2}\leqq y\leqq \frac{7}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、（2） を $x$ のまま直接処理しようとしないことである。 （1） で現れた $\sin x-\cos x$ を $t$ とおくと、$(\sin x-\cos x)^2=1-\sin 2x$ が使えるため、$\sin 2x$ を消去して $y$ を $t$ の2次式にできる。

つまり、（1） は単独の小問ではなく、（2） のための準備になっている。 この連動に気づけるかどうかがこの問題の本質である。

答え

**(1)**

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ -1-2\sqrt{2}\leqq y\leqq \frac{7}{2} $$