解説

方針・初手

$x=\sin\theta-\cos\theta$ とおくと、$\sin2\theta$ は $x$ を用いて表せる。したがって $y$ は $x$ の2次式になる。

まず （1） で $x$ の取り得る範囲を求め、次に （2） で $y$ を $x$ の式に直し、最後にその2次関数を区間上で最大・最小にすればよい。

解法1

**(1)**

$x=\sin\theta-\cos\theta$ の範囲を求める。

$$ x=\sin\theta-\cos\theta =\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) $$

ここで $0\leqq \theta\leqq \pi$ より

$$ -\frac{\pi}{4}\leqq \theta-\frac{\pi}{4}\leqq \frac{3\pi}{4} $$

したがって、$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ の取り得る範囲は

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\leqq 1 $$

であるから、

$$ -1\leqq x\leqq \sqrt{2} $$

となる。

**(2)**

$y$ を $a,x$ で表す。

$x=\sin\theta-\cos\theta$ より

$$ x^2=(\sin\theta-\cos\theta)^2 =\sin^2\theta+\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta =1-\sin2\theta $$

よって

$$ \sin2\theta=1-x^2 $$

である。したがって

$$ y=\sin2\theta+a(\sin\theta-\cos\theta) =(1-x^2)+ax $$

ゆえに

$$ y=1-x^2+ax $$

と表せる。

さらに平方完成すると

$$ y=-\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+1+\frac{a^2}{4} $$

である。

**(3)**

$y$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める。

**最大値**

$y=1-x^2+ax$ は上に凸な2次関数であり、頂点の $x$ 座標は

$$ x=\frac{a}{2} $$

である。

$x$ の範囲は $-1\leqq x\leqq \sqrt{2}$ であるから、頂点がこの区間内にあるのは

$$ -1\leqq \frac{a}{2}\leqq \sqrt{2} $$

すなわち

$$ -2\leqq a\leqq 2\sqrt{2} $$

のときである。

したがって、

**(i)**

$-2\leqq a\leqq 2\sqrt{2}$ のとき、頂点で最大となるから

$$ M=1+\frac{a^2}{4} $$

**(ii)**

$a<-2$ のとき、頂点は区間の左にあるので、この区間では単調減少である。よって最大値は $x=-1$ のときで

$$ M=1-(-1)^2+a(-1)=-a $$

**(iii)**

$a>2\sqrt{2}$ のとき、頂点は区間の右にあるので、この区間では単調増加である。よって最大値は $x=\sqrt{2}$ のときで

$$ M=1-(\sqrt{2})^2+a\sqrt{2} =-1+\sqrt{2}a $$

以上より

$$ M= \begin{cases} -a & (a<-2)\\ 1+\dfrac{a^2}{4} & (-2\leqq a\leqq 2\sqrt{2})\\ -1+\sqrt{2}a & (a>2\sqrt{2}) \end{cases} $$

**最小値**

上に凸な2次関数の最小値は区間の端で生じる。したがって $x=-1,\sqrt{2}$ を代入して比較すればよい。

$$ y(-1)=1-1-a=-a $$

$$ y(\sqrt{2})=1-2+\sqrt{2}a=-1+\sqrt{2}a $$

これらの大小を比べると、

$$ -a\leqq -1+\sqrt{2}a $$

は

$$ 1\leqq (1+\sqrt{2})a $$

すなわち

$$ a\geqq \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 $$

と同値である。

よって、

**(i)**

$a\geqq \sqrt{2}-1$ のとき

$$ m=-a $$

**(ii)**

$a\leqq \sqrt{2}-1$ のとき

$$ m=-1+\sqrt{2}a $$

したがって

$$ m= \begin{cases} -1+\sqrt{2}a & (a\leqq \sqrt{2}-1)\\ -a & (a\geqq \sqrt{2}-1) \end{cases} $$

解説

この問題の要点は、$\sin\theta-\cos\theta$ を1つの文字 $x$ に置くと、$\sin2\theta$ も $x^2=1-\sin2\theta$ によって処理できる点にある。すると三角関数の最大・最小の問題が、区間付き2次関数の最大・最小の問題に直る。

特に （3） では、最大値は「頂点が区間内にあるかどうか」、最小値は「上に凸だから端点で生じる」という見方を使うと整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ -1\leqq x\leqq \sqrt{2} $$

**(2)**

$$ y=1-x^2+ax $$

**(3)**

$$ M= \begin{cases} -a & (a<-2)\\ 1+\dfrac{a^2}{4} & (-2\leqq a\leqq 2\sqrt{2})\\ -1+\sqrt{2}a & (a>2\sqrt{2}) \end{cases} $$

$$ m= \begin{cases} -1+\sqrt{2}a & (a\leqq \sqrt{2}-1)\\ -a & (a\geqq \sqrt{2}-1) \end{cases} $$