解説

方針・初手

点 $A,B,C,P$ は同一円周上にあるので，各三角形の外接円半径はすべて $1$ である。したがって，弦の長さは

$$ \text{弦の長さ}=2\sin(\text{その弦に対する円周角}) $$

で表せる。

まず $\angle PBA=\theta$ とおいて，円周角と弦の関係から $PA,PB,PC$ を求める。その後， $PA+PB+PC$ は三角関数の合成で最大値を出し， $PA^2+PB^2+PC^2$ は得られた式をそのまま計算する。

解法1

正三角形 $ABC$ が半径 $1$ の円に内接しているので，弧 $AB,BC,CA$ はいずれも $120^\circ$，すなわち中心角で $2\pi/3$ である。

また，$P$ は弧 $AB$（ただし $C$ を含まない方）上にあるから，

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$

である。

**(1)**

まず四点 $A,P,B,C$ は同一円周上にあるので，$\angle APB$ は弧 $AB$ のうち $C$ を含む方を見込む円周角である。したがって

$$ \angle APB=\frac{1}{2}\left(2\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}. $$

よって三角形 $APB$ において

$$ \angle PAB=\pi-\angle APB-\angle PBA =\pi-\frac{2\pi}{3}-\theta =\frac{\pi}{3}-\theta. $$

ここで，三角形 $APB$ の外接円半径は $1$ だから，正弦定理より

$$ PA=2\sin\angle PBA=2\sin\theta, $$

$$ PB=2\sin\angle PAB=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right). $$

次に $PC$ を求める。

弧 $AP$ の大きさは，それを見込む円周角が $\angle PBA=\theta$ であることから

$$ \overset{\frown}{AP}=2\theta $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \overset{\frown}{PB} &= \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AP} \\ &=\frac{2\pi}{3}-2\theta. \end{aligned} $$

ゆえに，弧 $PBC$ の大きさは

$$ \begin{aligned} \overset{\frown}{PBC} &= \overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{BC} \\ &=\left(\frac{2\pi}{3}-2\theta\right)+\frac{2\pi}{3} \\ &=\frac{4\pi}{3}-2\theta. \end{aligned} $$

これを見込む円周角は $\angle PAC$ であるから

$$ \begin{aligned} \angle PAC &= \frac{1}{2}\left(\frac{4\pi}{3}-2\theta\right) \\ &=\frac{2\pi}{3}-\theta. \end{aligned} $$

よって三角形 $APC$ に正弦定理を用いれば

$$ PC=2\sin\angle PAC =2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\theta\right) =2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right). $$

以上より，

$$ PA=2\sin\theta,\qquad PB=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right),\qquad PC=2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) $$

である。

次に

$$ S=PA+PB+PC $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} S &=2\sin\theta +2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) +2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) \\ &=2\sin\theta +2\left\{ \sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) +\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) \right\} \\ &=2\sin\theta+2\cdot 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\theta \\ &=2\sin\theta+2\sqrt{3}\cos\theta \\ &=4\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right). \end{aligned} $$

ここで

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$

より

$$ \frac{\pi}{3}<\theta+\frac{\pi}{3}<\frac{2\pi}{3}. $$

したがって $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$ の最大値は $1$ であり，そのとき

$$ \theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{6}. $$

よって

$$ PA+PB+PC $$

の最大値は

$$ 4 $$

である。

**(2)**

$$ T=PA^2+PB^2+PC^2 $$

とおくと，上で求めた式より

$$ \begin{aligned} T &=4\sin^2\theta +4\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) +4\sin^2\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right). \end{aligned} $$

ここで

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} \frac{T}{4} &=\sin^2\theta +\frac{1-\cos\left(\frac{2\pi}{3}-2\theta\right)}{2} +\frac{1-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2\theta\right)}{2} \\ &=\sin^2\theta +1 -\frac{ \cos\left(\frac{2\pi}{3}-2\theta\right) +\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2\theta\right) }{2}. \end{aligned} $$

さらに

$$ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)=2\cos\alpha\cos\beta $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} \cos\left(\frac{2\pi}{3}-2\theta\right) +\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2\theta\right) &= 2\cos\frac{2\pi}{3}\cos 2\theta \\ -\cos 2\theta. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{T}{4} &=\sin^2\theta+1+\frac{\cos 2\theta}{2} \\ &=\sin^2\theta+1+\frac{1-2\sin^2\theta}{2} \\ &=\frac{3}{2}. \end{aligned} $$

ゆえに

$$ T=6. $$

すなわち

$$ PA^2+PB^2+PC^2=6 $$

である。

解説

この問題の核は，弦の長さを円周角で表すことである。円の半径が $1$ と固定されているため，正弦定理を使えば各辺はすぐに三角関数で表せる。

また，和 $PA+PB+PC$ はそのままでは扱いにくいが，三角関数の加法定理を使うと $4\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$ と1つにまとまる。この形にできれば最大値は即座に分かる。

一方， $PA^2+PB^2+PC^2$ は $\theta$ に依らず一定値になる。計算して消える構造を確認することが重要である。

答え

**(1)**

$$ PA=2\sin\theta,\qquad PB=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right),\qquad PC=2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) $$

であり，

$$ PA+PB+PC $$

の最大値は

$$ 4 $$

である。

**(2)**

$$ PA^2+PB^2+PC^2=6 $$