解説

方針・初手

点 $P(x,y)$ は半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くので，

$$ x^2+y^2=2 $$

が成り立つ。 $\sqrt{3}x+y$ は内積としてみると最小値がすぐ分かる。 また，$x^2+2xy+3y^2$ は $x=\sqrt{2}\cos\theta,\ y=\sqrt{2}\sin\theta$ とおいて三角関数に直すのが自然である。

解法1

まず，

$$ \sqrt{3}x+y=(x,y)\cdot (\sqrt{3},1) $$

とみる。

ここで

$$ |(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2},\qquad |(\sqrt{3},1)|=\sqrt{3+1}=2 $$

であるから，内積の範囲より

$$ -\sqrt{2}\cdot 2 \le \sqrt{3}x+y \le \sqrt{2}\cdot 2 $$

となる。したがって最小値は

$$ -2\sqrt{2} $$

である。

次に，円周上の点であることから

$$ x=\sqrt{2}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{2}\sin\theta $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} x^2+2xy+3y^2 &=2\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+6\sin^2\theta \\ &=2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+4\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta \\ &=2+4\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\qquad 2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta $$

を用いると，

$$ \begin{aligned} x^2+2xy+3y^2 &=2+2(1-\cos2\theta)+2\sin2\theta \\ &=4-\cos2\theta\cdot 2+\sin2\theta\cdot 2 \\ &=4+2(\sin2\theta-\cos2\theta) \\ &=4+2\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

となる。

$\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\le 1$ であるから，最大値は

$$ 4+2\sqrt{2} $$

である。

解説

一次式の最大・最小は，円周上の点をベクトルとみて内積で処理すると最短である。 二次式はそのままでは見通しが悪いので，円周条件 $x^2+y^2=2$ に合わせて三角関数で表すと，結局は $\sin$ の最大値の問題に落ちる。

答え

$$ \text{ア}=-2\sqrt{2},\qquad \text{イ}=4+2\sqrt{2} $$